Matematyka.pl

Czy istnieje trójkąt o bokach nieparzystej długości i o wymiernym polu

Przypuszczam, że trzeba to ruszyć wzorem Herona
\(\displaystyle{ P = \sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s = \frac{a+b+c}{2}}\)
jeszcze można to pokazać tak, że np.
\(\displaystyle{ s-a = \frac{a+b+c}{2} - \frac{2a}{2} = \frac{-a+b+c}{2}}\)
i w naszym przypadku mianownik można pominąć, bo pod pierwiastkiem będą cztery dwójki więc mianownik spod pierwiastka zawsze będzie wymierny równy 4, więc pomijając go mamy
\(\displaystyle{ 4P = \sqrt{ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }}\)
i musimy sprawdzić, czy to co pod pierwiastkiem może być kwadratem liczby całkowitej
ale skoro iloczyn 4 nawiasów ma być kwadratem, to iloczyn dwóch z nich musi być równy iloczynowi dwóch pozostałych, czyli musiałoby zachodzić
\(\displaystyle{
(a+b+c)(-a+b+c) = (a-b+c)(a+b-c)\\
-a^2+ab+ac-ab+b^2+bc-ac+bc+c^2 = a^2+ab-ac -ab -b^2 +bc +ac +bc -c^2\\
-a^2 +b^2 +2bc +c^2 = a^2 -b^2 +2bc -c^2\\
-a^2 + (b+c)^2 = a^2 - (b-c)^2\\
2a^2 = (b+c)^2 + (b-c)^2\\
a^2 = \frac{(b+c)^2 + (b-c)^2}{2}
}\)
a to zdaje się zachodzić tylko dla \(\displaystyle{ b=c}\) ale w takim przypadku \(\displaystyle{ a=2b}\) i nie da się stworzyć trójkąta, bo wówczas \(\displaystyle{ a \ngtr b+c}\)

Gouranga pisze: ↑17 lut 2024, o 15:47skoro iloczyn 4 nawiasów ma być kwadratem, to iloczyn dwóch z nich musi być równy iloczynowi dwóch pozostałych

nieprawda, np. \(4\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\) jest kwadratem, ale nie jest prawdą, że iloczyn którychś dwóch czynników jest równy iloczynowi pozostałych dwóch czynników

Fakt, rozpędziłem się z tym założeniem. Chyba żeby jakoś pokazać, że nie można tak dobrać nieparzystych a,b,c żeby każdy z nawiasów był kwadratem czy coś.