Matematyka.pl

Udowodnić, że styczna do okręgu w punkcie, który jest jednym z wierzchołków trójkąta wpisanego w ten okrąg jest równoległa do prostej łączącej spodki wysokości z pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

Zupełnie niegeometryczne rozwiązanie geometrycznego problemu:

Niech `1, z_1, z_2` bedą wierzchołkami trójkąta leżącymi na kole jednostkowym na płaszczyżnie zespolonej.
Wyznaczę spodek wysokości `s_2` opuszczonej z `z_2` na bok `1:z_1`.
Prosta, na której leży bok `1:z_1` ma równanie `1+\beta(z_1-1)` (`\beta` jest rzeczywistym parametrem).
Prosta do niej prostopadła i przechodząca przez `z_2` (czy prosta na której leży wysokość) ma równanie `z_2+\alpha i(z_1-1)`.
Znajdziemy wartości `\alpha` i `\beta` rozwiązując równanie
\begin{align}z_2+\alpha i(z_1-1)&=1+\beta(z_1-1)\\
(\beta-\alpha i)(z_1-1)&=z_2-1\\
\beta-\alpha i&=\frac{z_2-1}{z_1-1}\end{align}

Stąd Z symetrii, spodek wysokości `s_1` opuszczonej z `z_1` na `1:z_2` jest dany wzorem Teraz lemacik:
Jeżli `|z|=1` to \(\displaystyle{ \frac{\Re(z-1)}{|z-1|^2}=-\frac12}\).
Dowodzik:
\(\displaystyle{ \frac{\Re(z-1)}{|z-1|^2}=\frac{\Re(z)-1}{(z-1)(\overline{z}-1)}=\frac{\Re(z)-1}{|z|^2-2\Re(z)+1}=-\frac12}\).

Pobawmy się trochę:
\begin{align}s_2&=1+(z_1-1)\Re\frac{z_2-1}{z_1-1}\\
&=1+(z_1-1)\Re\frac{(z_2-1)\overline{(z_1-1)}}{(z_1-1)\overline{(z_1-1)}}\\
&=1+\frac{z_1-1}{|z_1-1|^2}\red{\Re\left((z_2-1)\overline{(z_1-1)}\right)}
\end{align}
i, symetrycznie
\begin{align}s_1&=1+\frac{z_2-1}{|z_2-1|^2}\red{\Re\left((z_1-1)\overline{(z_2-1)}\right)}
\end{align}
Ponieważ czerwone kawałki w obu równaniach sa równe , to z lemaciku wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \Re( s_1)=\Re( s_2)}\) więc spodki obu wysokości leżą na prostej pionowej, a ona jest oczywiście równoległa do okręgu w punkcie `1`.

po co się tak męczyć?

powiedzmy, że mamy trójkąt \(ABC\) z wysokościami \(BE\) i \(CF\), a prosta styczna w punkcie \(A\) do okręgu opisanego na \(ABC\) nazywa się \(\ell\)

punkty \(E,F\) leżą na okręgu o średnicy \(BC\)

teza wynika z równości kątów \(\angle EFA = \angle ACB = \angle(\ell, AB)\)

Ja tam się nie zmęczyłem .
Za to jakoś nie widzę równości kątów, o których piszesz.

a4karo pisze: ↑13 lut 2023, o 10:10 Ja tam się nie zmęczyłem .
Za to jakoś nie widzę równości kątów, o których piszesz.

to geometria na poziomie przedszkola, ale już spieszę z wyjaśnieniem jakich faktów użyliśmy

pierwsza równość wynika z warunku na wpisywalność czworokąta w okrąg (suma przeciwległych kątów równa się kątowi półpełnemu)

druga równość wynika z tego, że kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi opartemu na tej cięciwie

Moi rodzice byli robotnikami w państwowej fabryce, więc zarabiali za dużo aby w gomółkowskiej Polsce przysługiwało mi przedszkole. Stąd to niedouczenie.


Ale cieszę się, że uświadomiliście mi czego użyliście sentymenty wróciły