Matematyka.pl

W trójkącie, w którym \(\displaystyle{ AB > AC}\) poprowadzono środkową \(\displaystyle{ AD.}\) Czy prawdą jest, że:
1) kąt \(\displaystyle{ ADB}\) jest rozwarty;
2) jeśli punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do środkowej \(\displaystyle{ AD}\), to \(\displaystyle{ BE \geq CE}\).
Odpowiedź uzasadnij.

Z góry dziękuję za pomoc!

1) rozważ przypadek gdy kąt B jest rozwarty.
2) rozważ przypadek gdy kąt B jest ostry. Dorysuj symetralną boku BC i skorzystaj z własności że dzieli płaszczyznę na dwie części. W jednej punkty leżą bliżej B a w drugiej...

1)
\(\displaystyle{ \left( \angle BDA= \pi -\angle CDA\right) \Rightarrow \left( \cos \angle BDA=\cos (\pi -\angle CDA)=-\cos (\angle CDA)\right)}\)
z tw. kosinusów:
a) w trójkącie ABD
\(\displaystyle{ \left| BA\right|^2= \left| BD\right|^2+\left| AD\right|^2-2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA) \\
\left| BD\right|^2+\left| AD\right|^2=\left| BA\right|^2 +2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA)}\)
b) w trójkącie ACD
\(\displaystyle{ \left| CA\right|^2= \left| CD\right|^2+\left| AD\right|^2-2 \left| CD\right| \left| AD\right|\cos (\angle CDA)=\left| BD\right|^2+\left| AD\right|^2+2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA) \\
\left| BD\right|^2+\left| AD\right|^2= \left| CA\right|^2-2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA)}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \left| BA\right|^2+2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA)=\left| CA\right|^2 -2 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA) \\
4 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA)=\left|CA\right|^2-\left| BA\right|^2 \\
4 \left| BD\right| \left| AD\right|\cos (\angle BDA)<0\\
\cos (\angle BDA)<0\\
\frac{ \pi }{2}< \angle BDA< \pi}\)

2)
Analogicznie jak w 1)
\(\displaystyle{ 4 \left| BD\right| \left| ED\right|\cos (\angle BDA)=\left|CE\right|^2-\left| BE\right|^2 \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ \cos (\angle BDA)<0\\
0>\left|CE\right|^2-\left| BE\right|^2 \\
\left|BE\right|>\left| CE\right|}\)