Matematyka.pl

Na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty \(\displaystyle{ BCDE}\) oraz \(\displaystyle{ CAFG}\). Prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ C}\) i prostopadła do prostej \(\displaystyle{ DG}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ AM = MB}\).

Prosiłbym o jakąś wskazówkę, ale nie pełne rozwiązanie

Zrzutuj \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ CM}\).

Dzięki serdeczne! Czasami tak ciężko wpaść na prosty krok, który od razu prowadzi do rozwiązania .

Możesz też zastosować twierdzenie sinusów lub odbić \(\displaystyle{ C}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ DG}\). O ile dobrze pamiętam, to to zadanie można także rozwalić iloczynem skalarnym.

A chyba najładniej (to jest bardzo subiektywne rzecz jasna) jest zrobić tak:
niech punkt przecięcia \(\displaystyle{ CM}\) i \(\displaystyle{ DG}\) to \(\displaystyle{ H}\).
Teraz obróć trójkąt \(\displaystyle{ \triangle DCH}\) o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) zegarowo wokół punktu \(\displaystyle{ C}\) i trójkąt \(\displaystyle{ \triangle GCH}\) o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) antyzegarowo wokół punktu \(\displaystyle{ C}\).