W dowolnym trójkącie dwusieczna dowolnego kąta jest równa średniej harmonicznej długości ramion tego kąta , pomnożona przez wartość cosinusa połowy tego kąta (wartości kątów obliczamy ze wzorów twierdzenia cosinusów). Jest to bardzo wygodna zależność do obliczenia długości znanych kątów w trójkącie, między innymi w trójkącie prostokątnym , równobocznym , równoramiennym itp.
Z uszanowaniem T.W.
Dodano po 1 dniu 22 godzinach 55 minutach 33 sekundach:
Długość dwusiecznej : mamy dwie wielkości
Jeśli mamy tylko liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jeśli te liczby przedstawimy w postaci odcinków, to średnia harmoniczna dla tych danych dwóch wielkości wynosi \(\displaystyle{ H_{\text{śr}} = \frac{2ab }{a+b}}\) : długość dwusiecznej \(\displaystyle{ L}\) (dowolnego kąta w dowolnym trójkącie o znanych bokach \(\displaystyle{ a , c , b}\)) obliczymy ze wzoru \(\displaystyle{ L= \frac{2ab}{a + b}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}.}\) Dla trzech znanych średnich: średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna to średnia harmoniczna jest wielkości najmniejszą natomiast średnia arytmetyczna jest wielkością największą.
Przykład : Dla prostokątnego trójkąta egipskiego \(\displaystyle{ 4, 5,3}\) o bokach \(\displaystyle{ 4, 3}\) długość dwusiecznej obliczamy
\(\displaystyle{ L= 2\cdot3\cdot\frac{4}{3+4}\cdot\cos 45^\circ = \frac{24}{7}\cdot 0,707106781... = 2,424366107...}\)
T.W.
Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 2 razy
Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej
Ostatnio zmieniony 23 maja 2023, o 18:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej .
\(\displaystyle{ P_{\Delta}= \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2}ad \sin \frac{\gamma }{2}+\frac{1}{2}db \sin \frac{\gamma }{2} \\
ab 2\sin \frac{\gamma }{2} \cos \frac{\gamma }{2} = ad \sin \frac{\gamma }{2}+db \sin \frac{\gamma }{2} \\
d= \frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2} }{a+b}\\
d= \frac{ab \sqrt{2(1+\cos \gamma) } }{a+b} \\
d= \frac{ab \sqrt{2(1+ \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} ) } }{a+b} \\
d= \frac{ \sqrt{ab((a+b)^2-c^2 ) } }{a+b} \\
}\)
ab 2\sin \frac{\gamma }{2} \cos \frac{\gamma }{2} = ad \sin \frac{\gamma }{2}+db \sin \frac{\gamma }{2} \\
d= \frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2} }{a+b}\\
d= \frac{ab \sqrt{2(1+\cos \gamma) } }{a+b} \\
d= \frac{ab \sqrt{2(1+ \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} ) } }{a+b} \\
d= \frac{ \sqrt{ab((a+b)^2-c^2 ) } }{a+b} \\
}\)
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej
Dziękuję za podanie równie ciekawego wzoru na obliczenie długości dwusiecznych
w dowolnym trójkącie , wpisanym w okrąg .
CIEKAWOSTKA : dwusieczna w prostokątnym trójkącie egipskim dzieli pole
tego trójkąta w stosunku 4/3 . ( 20/7 ) / (15/7) ,
( gdzie 20/7 +15/7 = 35/7 = 5 )
Dzięki T.W.
w dowolnym trójkącie , wpisanym w okrąg .
CIEKAWOSTKA : dwusieczna w prostokątnym trójkącie egipskim dzieli pole
tego trójkąta w stosunku 4/3 . ( 20/7 ) / (15/7) ,
( gdzie 20/7 +15/7 = 35/7 = 5 )
Dzięki T.W.