Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można rozciąć trójkąt równoboczny na \(\displaystyle{ n}\) trójkątów równoramiennych

np: dla:

\(\displaystyle{ n=4^k}\)

Krótkie wyjaśnienie:

Każdy trójkąt można podzielić na dwa trójkąty prostokątne, a każdy prostokątny można podzielić na dwa trójkąty równoramienne, itd...

Dla `n=3` środek okręgu opisanego dzieli każdy trójkąt ostrokątny na trzy trójkąty równoramienne.
Dla `n=4` łączymy środki boków dzieląc trójkąt na cztery trójkąty równoboczne.
Dla `n=6` dzielimy trójkąt na trzy, a następnie jeden z nich dzielimy metoda wskazaną przez arka1357 na cztery.
Dla `n>6` robimy taka konstrukcję:
W trójkącie `ABC` wybieramy na boku `BC` punkt `D` taki, że `\angle DAB=45^\circ`. Punkt `E` jest rzutem prostokątnym `D` na odcinek `AB`.
Trójkąt `ABD` jest prostokątny, więc może być podzielony na dwa trójkąty równoramienne. Trójkąt `ADC` możemy podzielić na cztery trójkąty równoramienne metodą arka1357.
Trójkąt `ADE` jest równoramienny i prostokątny.
Mamy więc podział na `7` trójkątów.
Ponadto trójkąt `AED` możemy podzielić na dowolną ilość trójkątów równoramiennych prostokątnych, opuszczając kolejno wysokości z wierzchołków przy kątach prostych, co daje podział na dowolną ilość trójkątów.

Ktoś ma pomysł jak podzielić trójkąt na `5` trójkątów?

To chyba nie jest trudne: Z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) można narysować dwie trójsieczne, a z \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) odcinki dzielące kąty na \(\displaystyle{ 20^{o}}\) i \(\displaystyle{ 40^{o}}\).

No to mamy komplet