Matematyka.pl

Czy w każdym trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że obwody trójkątów \(\displaystyle{ ABX, ACX, BCX}\) są równe

A to przypadkiem środek okręgu wpisanego nie ma takiej własności?

Jeżeli:

\(\displaystyle{ AB=a, BC=b, AC=c, AX=x, BX=y, CX=z}\)

i obwody:

\(\displaystyle{ \Delta ABX=\Delta BCX=\Delta ACX}\)

To zachodzi:

\(\displaystyle{ x+y+a=y+z+b, x+y+a=x+z+c}\)

co daje:

\(\displaystyle{ y=x+c-b , z=x+a-b}\)

I czy to jest zawsze prawdą?

Na razie nie widzę przeciwskazań a może?

@Gouranga Nie. Na oko widać, że dla trójkąta równoramiennego z bardzo długą podstawą w stosunku do króciutkiej wysokości takiego punktu nie ma, a tym bardziej nie jest to środek okręgu wpisanego. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia \(\displaystyle{ X}\) jest aby

Tak teraz to widzę, no może się zdarzyć, że np:

\(\displaystyle{ x+c<b}\)

Więc nie zawsze musi być prawdą

A skąd ten warunek z tangensami i jak wyznaczać taki \(\displaystyle{ X}\) (o ile istnieje)

mol_ksiazkowy pisze: ↑14 sty 2024, o 13:46 A skąd ten warunek z tangensami

Muwaffaq Hajja and Peter Yff, "The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle," Journal of Geometry 87 (2007) 76-82.

mol_ksiazkowy pisze: ↑14 sty 2024, o 13:46 i jak wyznaczać taki \(\displaystyle{ X}\) (o ile istnieje)

ETC: \(\displaystyle{ X(175)}\). \(\displaystyle{ X(175)}\) to środek zewnętrznego okręgu Soddy'ego.