Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli prosta połowi obwód jak i pole trójkąta, to na tej prostej jest środek okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Jest to zadanie z pogranicza topologii stosowanej i zasady szufladkowej...

a mianowicie twierdzenie , mówi nam , że jeżeli mamy kanapkę z szynką to istnieje cięcie w którym tniemy kanapkę i szynkę na pół...

W wersji dwuwymiarowej możemy przeciąć linia prostą dwie figury 2D dokładnie obie na pół...,

więc jeżeli weźmiemy koło (2D) i trójkąt (2D) to istnieje prosta (cięcie) , która na pół tnie koło i trójkąt a dokładnie jego pole.

Siłą rzeczy prosta ta przechodzi przez środek koła (jest jak na rysunku poniżej)...

a skoro tak się dzieje mamy biorąc dane z rysunku i wiemy, że trójkąt jest przepołowiony na pół ( jego pole):


\(\displaystyle{ \frac{r(a-x)}{2} + \frac{r(b-y)}{2} = \frac{rx}{2} +\frac{ry}{2} +\frac{rc}{2}}\)

upraszczając to otrzymamy:

\(\displaystyle{ a-x+b-y=x+y+c}\)

a dokładnie:

obwód też jest przepołowiony tą samą prostą...

odnosi się to do trójkąta różnobocznego bo w równoramiennych dzielimy na pół zaczynając od wierzchołaka jak leci po wysokości...

Natomiast w trójkącie różnobocznym nie może prosta jechać przez żaden wierzchołek bo jeżeli by podzieliła przeciwny bok na pół i pola byłyby równe to nijak nie byłyby równe obwody, więc prosta w różnobocznym nie przechodzi przez wierzchołek , cnd...

załączam ten przepiękny rysunek:

Teraz kilka słów refleksji:

jeżeli chodzi o równe cięcia twierdzenie to podejrzewam, że wynikać może z zasady szufladkowej w wersji topologii stosowanej dyskretnej...Nikt tego jeszcze jak na razie nie podważył ani nie udowodnił, pewnie dlatego, że teraz dopiero to ogłosiłem, a co to wielokątów mamy na płaszczyźnie trzy rodzaje:

- punktowy

- odcinkowy

- płaszczyznowy

co pokazuję na pierwszym rysunku w wersji dla trójkątów...

Fajnie widać, jak zasada szufladkowa daje intuicję dla geometrii trójkąta — super wyjaśnienie z rysunkiem!

Ale którym rysunkiem bo są dwa...

Bo tak na marginesie oba rysunki do zasady szufladkowej się nie odnoszą , drugi rysunek wyjaśnia zapisy równaniowe do zadania właściwego, a rysunek pierwszy jest informacyjny w stosunku do rodzajów trójkątów a po to go dałem, żeby sprecyzować informacje na temat kół wpisanych w trójkąty , więc już nie musimy używać sformułowania: "koło opisane na trójkącie" tylko: "koło wpisane w trójkąt punktowy" , może w dwóch wymiarach nie jest to bardzo kłopotliwe ale dla wymiarów trzy i powyżej wprowadza bałagan w nazewnictwie więc stąd moje rysunki.

A jeżeli potrafisz powiązać zasadę szufladkową z którymś z tych rysunków to gratulują intuicji...W przeciwnym razie proponuję czytanie ze zrozumieniem...jak to moja Pani w szkole mi mówiła...

Fajnie widać, jak zasada szufladkowa daje intuicję dla geometrii trójkąta

i tu też jeszcze byś się mocno zdziwiła...