Matematyka.pl

Mam takie zadanko, i nie wiem jak je ugryźć:
Wykaż, że okąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkata

Niech x i y będą tymi odcinkami. Zauważ, że x=a-r i y=b-r, gdzie r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab}\) oraz \(\displaystyle{ xy=ab+r^2-ar-br}\)

Przyjmijmy, że punkty styczności okręgu do boków dzielą je w następujący sposób:

* przyprostokątne na x,z oraz z,y
* przeciwprostokątną na x,y.

Aby ustalić kolejność oznaczeń skorzystaj z twierdzenia o stycznych do okręgu.

Pole naszego trójkąta to:

\(\displaystyle{ s=\frac{(x+z)(z+y)}{2}}\)

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(\displaystyle{ (x+z)^2+(z+y)^2=(x+y)^2}\)

Po prostych przekształceniach dostajemy:

\(\displaystyle{ z^2=xy-yz-xz}\)

\(\displaystyle{ s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}}\)

Wstawiając to, co otrzymaliśmy z tw. Pitagorasa mamy:

\(\displaystyle{ s=\frac{xz+xy+xy-yz-xz+yz}{2}=\frac{2xy}{2}=xy}\),

z czego prosto wynika nasza teza.


Ups, spóźniłem się =)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Tomasz Rużycki pisze:
\(\displaystyle{ s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}}\)

Witam. Wybaczcie za odświeżenie... ale skąd to sie wzieło ?