Matematyka.pl

Jeśli Cię to usatysfakcjonuje, to podam gotowy wzór na długość środkowej łączacej środek najdłuższego boku z przeciwległym wierzchołkiem.
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}{2}}\), gdzie
a=6, b=5, c=4.

W przybliżeniu będzie to 3,4

z tym ze to nie jest ten odcinek o ktory chodzi.

no to sorry
więc o który odcinek chodzi?

o rownolegly do wysokosci opuszczonej na najdluzszy bok i dzielacy trojkat na dwie figury o tych samych polach. bedzie on naturalnie krotszy od tejze srodkowej.

Ze wzoru Herona obiczamy pole
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup }\,=\,\sqrt{ p\cdot (p - a)(p - b)(p - c) }}\)
Z tw. cosinusów mozemy wsnaczyć cosinus
\(\displaystyle{ a^{2}\,=\,b^{2} + c^{2} - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha )}\)
Znając cosinus obliczmy sinus
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot P_{\bigtriangleup }\,=\,\frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot \sin(\alpha )}\)
W ten sposób mamy zależność między x i y.
I teraz stosując tw. cosinusów do małego trójkąta .
\(\displaystyle{ d^{2}\,=\,x^{2} + y^{2} - 2\cdot x\cdot y\cdot \cos(\alpha )}\)
Przy pomocy pochodnej wyliczymy d.
Oczywiście, takie rozumowanie powinniśmy zastosować do każdego z boków. Ale wydaje się naturalne,
że odcinek szukany nie będzie miał punktów wspólnych z najkrótszym odcinkiem.
Mnie wyszło
\(\displaystyle{ d\,=\,\frac{\sqrt{ 30 }}{2}}\)