Jak uzasadnić, że największy kąt w trójkącie to ten, który leży na przeciwko najdłuższego boku?
Uwaga! Nie używamy trygonometrii, zadanie jest na poziomie szkoły podstawowej.
Największy kąt w trójkącie
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Największy kąt w trójkącie
\(\displaystyle{ |\angle B| > |\angle A| > |\angle C| }\) z konstrukcji,
\(\displaystyle{ |\angle DBC|=|\angle ACB| }\) trójkąt DBC jest równoramienny,
\(\displaystyle{ |DB|= |CD| \ \ (*) }\) - naprzeciw równych kątów leżą równe boki.
Dodajemy obustronnie do równania \(\displaystyle{ (*) }\) długość boku \(\displaystyle{ |AD| }\)
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |CD|+|AD| }\)
\(\displaystyle{ |CD| + |AB| = |AC|}\)
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |AC| \ \ (**) }\)
Dla trójkąta \(\displaystyle{ ADB }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| > |AB| \ \ (***) }\) suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości boku trzeciego
Z \(\displaystyle{ (**) , (***) }\)
\(\displaystyle{ |AC| > |AB|}\)
\(\displaystyle{ |\angle DBC|=|\angle ACB| }\) trójkąt DBC jest równoramienny,
\(\displaystyle{ |DB|= |CD| \ \ (*) }\) - naprzeciw równych kątów leżą równe boki.
Dodajemy obustronnie do równania \(\displaystyle{ (*) }\) długość boku \(\displaystyle{ |AD| }\)
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |CD|+|AD| }\)
\(\displaystyle{ |CD| + |AB| = |AC|}\)
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |AC| \ \ (**) }\)
Dla trójkąta \(\displaystyle{ ADB }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ |DB| + |AD| > |AB| \ \ (***) }\) suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości boku trzeciego
Z \(\displaystyle{ (**) , (***) }\)
\(\displaystyle{ |AC| > |AB|}\)
- Załączniki
-
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Największy kąt w trójkącie
O ile na poziomie szkoły podstawowej to rozwiązanie należałoby uznać za poprawne, chciałbym zauważyć, że zakłada ono prawdziwość nierówności trójkąta. Rozwijając geometrię aksjomatycznie zazwyczaj nierówność trójkąta dowodzi się właśnie z użyciem własności "naprzeciwko większego boku leży większy kąt". Aby uniknąć błędnego koła, powinniśmy zaprezentować inny dowód np. z użyciem twierdzenia o kącie zewnętrznym.