Minimalna suma kwadratów odległości punktu od boków trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Minimalna suma kwadratów odległości punktu od boków trójkąta

Post autor: anxerx »

Dobry wieczór, czy ktoś wie dlaczego, gdy znajdziemy wewnątrz trójkąta taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że jego najkrótsze odległości do boków trójkąta \(\displaystyle{ a, b, c
}\)
nazwiemy: \(\displaystyle{ x, y, z }\), to gdy weźmiemy sumę ich kwadratów \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 }\), to gdy jest ona minimalna zostaje spełnione równanie: \(\displaystyle{ \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} }\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Minimalna suma kwadratów odległości punktu od boków trójkąta

Post autor: a4karo »

Jak poprowadzisz odcinki od `P` do wierzchołków trójkąta, to stwierdzisz, że liczby `a,b,c,x,y,z` spełniają warunek `ax+by+cz=2S`, gdzie `S` to pole trójkąta. Szukasz zatem minimum funkcji `x^2+y^2+z^2` pod warunkiem, że `ax+by+cz=2S`.
teraz mnożniki Lagrange'a dają pożądaną odpowiedź.
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Re: Minimalna suma kwadratów odległości punktu od boków trójkąta

Post autor: anxerx »

Ok dzięki, a wytłumaczysz jak użyć tego mnożnika, bo jeszcze tego nie miałem? Idę teraz do 4 liceum.
Jeszcze natknąłem się na jakiś sposób z używaniem nierówności Cauchego-Schwarza, by tu udowodnić.
Bo generalnie ten problem wziął się z tematu symedian, z pliku z wydawnictwa ,,Deltami''', bo jest tam akie twierdzenie o minimalnej sumie odległości
punktu Lemoine’a od boków trójkąta i właśnie tam nie rozjaśnili za bardzo skąd to zachodzi o co pytam.

Kod: Zaznacz cały

deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2015/01/31/1502delta-symediana.pdf
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Minimalna suma kwadratów odległości punktu od boków trójkąta

Post autor: a4karo »

Teoria mówi, że funkcja (ustalmy, że trzech zmiennych, choć to mało istotne) jeżeli `f(x,y,z)` osiąga wartości ekstremalne w punkcie `(x_0,y_0,z_0)` przy warunku `g(x,y,z)=0`, to funkcja
`Q(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)` spełnia warunek `Q_x(x_0,y_0,z_0)=Q_y(x_0,y_0,z_0)=Q_z(x_0,y_0,z_0)=0`.
(`Q_x` to pochodna cząstkowa po `x`, `\lambda` to pewna liczba rzeczywista zwana mnożnikiem Lagrange'a)
W naszym przypadku `f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2`, `g(x,y,z)=ax+by+cz-2S`. Równania z poprzedniej linijki przyjmują postać
`2x+\lambda a=2y+\lambda b=2z+\lambda c`

Dodano po 10 minutach 21 sekundach:
Można podejśc do rozwiązania trochę inaczej. Równanie `ax+by+cz=2S` opisuje w przestrzeni trójwymiarowej płaszczyznę. Wyrażenie `x^2+y^2+z^2` jest kwadratem odległości punktu `(x,y,z)` od początku ukłądu. Jeżeli weźmieny małą kulkę o środku w `(0,0,0)` i zaczniemy ją rozdmuchiwać, to w pewnym momencie dotknie ona tej płaszczyzny - to będzie najmniejsza kula, która z płaszczyzną ma punkt wspólny. Jeżeli punkt styczności ma współrzędne `(x_0,y_0,z_0)`, to wektor `[x_0,y_0,z_0]` (od środka do punktu styczności) jest równoległy do wektora `[a,b,c]` - bo ten jest prostopadły do płaszczyzny. Zatem współrzędne obu tych wektorów są proporcjonalne

Dodano po 1 godzinie 8 minutach 9 sekundach:
Inny sposób rozwiązania jest taki:
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ