W trójkącie równoramiennym o ramionach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w takim punkcie \(\displaystyle{ M}\), że \(\displaystyle{ BM=AC}\). Wyznacz kąty tego trójkąta.
Czy tutaj nie ma jakiegoś błądu w treści? Czy w tak sformułowanym zadaniu da się faktycznie te kąty wyznaczyć?
Kąty w trójkącie
-
- Użytkownik
- Posty: 7925
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Kąty w trójkącie
W rozwiązaniu zadania korzystamy z twierdzenia pomocniczego o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie.
"Jeżeli trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC }\) przecina bok \(\displaystyle{ BC }\) w punkcie \(\displaystyle{ M, }\) to
\(\displaystyle{ \frac{|BM|}{|MC|} = \frac{|AB|}{|AC|}".}\)
Wprowadzając oznaczenia:
\(\displaystyle{ |BM|=|MC| = y, \ \ |AC| = x }\) otrzymujemy z powyższej proporcji:
\(\displaystyle{ \frac{y}{y} = \frac{2y}{x} }\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{2y}{x}, \ \ x = 2y }\)
Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ |AB| = |BC| = |AC| }\) - trójkąt \(\displaystyle{ ABC }\) jest trójkątem równobocznym.
Kąty w trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\) wynoszą po \(\displaystyle{ 60^{o}.}\)
"Jeżeli trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC }\) przecina bok \(\displaystyle{ BC }\) w punkcie \(\displaystyle{ M, }\) to
\(\displaystyle{ \frac{|BM|}{|MC|} = \frac{|AB|}{|AC|}".}\)
Wprowadzając oznaczenia:
\(\displaystyle{ |BM|=|MC| = y, \ \ |AC| = x }\) otrzymujemy z powyższej proporcji:
\(\displaystyle{ \frac{y}{y} = \frac{2y}{x} }\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{2y}{x}, \ \ x = 2y }\)
Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ |AB| = |BC| = |AC| }\) - trójkąt \(\displaystyle{ ABC }\) jest trójkątem równobocznym.
Kąty w trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\) wynoszą po \(\displaystyle{ 60^{o}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Kąty w trójkącie
Przecież \(\displaystyle{ |BM|}\) miało być takie jak podstawa wyjściowego - więc o równoboczności możemy zapomnieć.
Mam boki wyjściowego (\(\displaystyle{ AC}\) przyjąłem jako jednostkowy) - dwa po \(\displaystyle{ 0,5(\sqrt 5 + 1)}\) oraz oczywiście jeden.
[edit]
A kąty będą ładne.
Tu podpowiedź : funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... l#p5662642