Matematyka.pl

W trójkącie równoramiennym o ramionach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w takim punkcie \(\displaystyle{ M}\), że \(\displaystyle{ BM=AC}\). Wyznacz kąty tego trójkąta.

Czy tutaj nie ma jakiegoś błądu w treści? Czy w tak sformułowanym zadaniu da się faktycznie te kąty wyznaczyć?

W rozwiązaniu zadania korzystamy z twierdzenia pomocniczego o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie.

"Jeżeli trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC }\) przecina bok \(\displaystyle{ BC }\) w punkcie \(\displaystyle{ M, }\) to

\(\displaystyle{ \frac{|BM|}{|MC|} = \frac{|AB|}{|AC|}".}\)

Wprowadzając oznaczenia:

\(\displaystyle{ |BM|=|MC| = y, \ \ |AC| = x }\) otrzymujemy z powyższej proporcji:

\(\displaystyle{ \frac{y}{y} = \frac{2y}{x} }\)

\(\displaystyle{ 1 = \frac{2y}{x}, \ \ x = 2y }\)

Stąd wynika, że

\(\displaystyle{ |AB| = |BC| = |AC| }\) - trójkąt \(\displaystyle{ ABC }\) jest trójkątem równobocznym.

Kąty w trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\) wynoszą po \(\displaystyle{ 60^{o}.}\)

janusz47 pisze: ↑30 mar 2024, o 11:00...
\(\displaystyle{ |BM|=|MC| = y}\) ...

A skąd takie założenie?

janusz47 pisze: ↑30 mar 2024, o 11:00 ...

\(\displaystyle{ |AB| = |BC| = |AC| }\) - trójkąt \(\displaystyle{ ABC }\) jest trójkątem równobocznym.

Kąty w trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\) wynoszą po \(\displaystyle{ 60^{o}.}\)

Przecież \(\displaystyle{ |BM|}\) miało być takie jak podstawa wyjściowego - więc o równoboczności możemy zapomnieć.

Mam boki wyjściowego (\(\displaystyle{ AC}\) przyjąłem jako jednostkowy) - dwa po \(\displaystyle{ 0,5(\sqrt 5 + 1)}\) oraz oczywiście jeden.

[edit]
A kąty będą ładne.
Tu podpowiedź : funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... l#p5662642

Ok, czyli wychodzi trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 36^\circ, 72^\circ, 72^\circ}\). Ponadto \(\displaystyle{ AM=BM}\).