Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) o środku okręgu wpisanego \(\displaystyle{ I}\), środkowa \(\displaystyle{ AM }\) ma z tym okręgiem punkty wspólne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ AC= AD+AB}\). Wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ XIY}\).

Co to jest \(\displaystyle{ D}\) ?

środek boku \(\displaystyle{ BC}\) (tj. \(\displaystyle{ M}\))...

Tam będzie \(\displaystyle{ 120^o}\), ale nie mam pomysłu jak to policzyć.

\(P\) --- rzut \(I\) na \(AB\)
\(Q\) --- rzut \(I\) na \(AM\)
\(R\) --- przecięcie \(AI\) z \(BC\)

należy udowodnić, że \(IP=2IQ \iff \sin\angle BAI = 2 \sin \angle IAQ\)

z twierdzenia sinusów w trójkątach \(BAR\) i \(RAM\) jest \(\sin \angle BAI = \dfrac{BR\sin\angle ARB}{AB}\) i \(\sin\angle IAQ = \dfrac{RM \sin \angle MRA}{AM}\)

czyli wystarczy udowodnić, że \(BR\cdot AM = 2 AB \cdot RM\)

mamy \(AM=AC-AB\), \(BR = \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC}\), \(MR = BM-BR = \dfrac 12 BC - \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC} = \dfrac{(AC-AB)BC}{2(AB+AC)}\), podstawiamy i wychodzi tak jak miało wyjść