Kąt w trójkącie
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11536
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3166 razy
- Pomógł: 749 razy
Kąt w trójkącie
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) o środku okręgu wpisanego \(\displaystyle{ I}\), środkowa \(\displaystyle{ AM }\) ma z tym okręgiem punkty wspólne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ AC= AD+AB}\). Wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ XIY}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11536
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3166 razy
- Pomógł: 749 razy
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1661
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 474 razy
Re: Kąt w trójkącie
\(P\) --- rzut \(I\) na \(AB\)
\(Q\) --- rzut \(I\) na \(AM\)
\(R\) --- przecięcie \(AI\) z \(BC\)
należy udowodnić, że \(IP=2IQ \iff \sin\angle BAI = 2 \sin \angle IAQ\)
z twierdzenia sinusów w trójkątach \(BAR\) i \(RAM\) jest \(\sin \angle BAI = \dfrac{BR\sin\angle ARB}{AB}\) i \(\sin\angle IAQ = \dfrac{RM \sin \angle MRA}{AM}\)
czyli wystarczy udowodnić, że \(BR\cdot AM = 2 AB \cdot RM\)
mamy \(AM=AC-AB\), \(BR = \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC}\), \(MR = BM-BR = \dfrac 12 BC - \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC} = \dfrac{(AC-AB)BC}{2(AB+AC)}\), podstawiamy i wychodzi tak jak miało wyjść
\(Q\) --- rzut \(I\) na \(AM\)
\(R\) --- przecięcie \(AI\) z \(BC\)
należy udowodnić, że \(IP=2IQ \iff \sin\angle BAI = 2 \sin \angle IAQ\)
z twierdzenia sinusów w trójkątach \(BAR\) i \(RAM\) jest \(\sin \angle BAI = \dfrac{BR\sin\angle ARB}{AB}\) i \(\sin\angle IAQ = \dfrac{RM \sin \angle MRA}{AM}\)
czyli wystarczy udowodnić, że \(BR\cdot AM = 2 AB \cdot RM\)
mamy \(AM=AC-AB\), \(BR = \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC}\), \(MR = BM-BR = \dfrac 12 BC - \dfrac{AB\cdot BC}{AB+AC} = \dfrac{(AC-AB)BC}{2(AB+AC)}\), podstawiamy i wychodzi tak jak miało wyjść