Matematyka.pl

Mam trójkąt zadany trzema punktami \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Dla ułatwienia mogę ograniczyć się tylko do trójkątów rozwartokątnych, gdzie kąt rozwarty jest przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\).
Chcę opisać ten trójkąt obróconym prostokątem. Długość prostokąta to długość boku \(\displaystyle{ AC}\), szerokość prostokąta to wysokość trójkąta. Wysokość mogę obliczyć najpierw licząc pole z wzoru Herona mając długości boków. Mam więc wysokość. Potrzebuję jednak znać środek odcinka wysokości, albo chociaż miejsce przecięcia się wysokości z bokiem \(\displaystyle{ AC.}\) Jak to można obliczyć?
Nic nie dało obliczenie średniej wierzchołków : \(\displaystyle{ \frac{A+B+C}{3}}\). Myślałem że punkt ten leży na \(\displaystyle{ \frac23}\) wysokości, ale próbując z niego wyliczyć otrzymałem przesunięcie wzdłuż boku \(\displaystyle{ AC.}\)

Dodano po 2 godzinach 48 minutach 34 sekundach:
Odpowiadam:
najpierw trzeba obliczyć równanie linii w postaci \(\displaystyle{ A\cdot x+B\cdot y+C=0 }\).
Wyliczamy: mając punkty \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) i \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) liczymy różnice współrzędnych \(\displaystyle{ \Delta x = x_1-x_0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta y = y_1-y_0}\), następnie: \(\displaystyle{ A = \Delta y}\), \(\displaystyle{ B = - \Delta x}\) , \(\displaystyle{ C = -(A \cdot x_0 + B \cdot y_0)}\)
W ten sposób liczymy \(\displaystyle{ A,B,C}\) najdłuższego boku, czyli jak trójkąt rozwartokątny, odcinka łączącego pierwszy z ostatnim punktem.
Teraz wyliczamy \(\displaystyle{ h_A,h_B,h_C}\) linii prostopadłej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\)
\(\displaystyle{ h_A = -B}\), \(\displaystyle{ h_B = A}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\): \(\displaystyle{ h_C = -h_A \cdot x1 - h_B \cdot y_1}\)
Mamy równanie linii współliniowej z wysokością. Teraz przecięcie tej linii z bokiem:
liczymy wyznacznik \(\displaystyle{ \Delta = A \cdot h_B - h_A \cdot B}\), następnie \(\displaystyle{ x = \frac{B \cdot h_C - h_B \cdot C}{ \Delta}}\) i \(\displaystyle{ y = \frac{h_A \cdot C - A \cdot h_C}{\Delta}}\)
Teraz wystarczy średnia z tego punktu i punktu \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) aby otrzymać środek wysokości trójkąta. Jednak nie będzie to jeszcze środek opisywanego obróconego prostokąta na nim: trzeba będzie do środka wysokości dodać wektor będący różnicą między środkiem najdłuższego boku a wyliczonym już przecięciem między wysokością a najdłuższym bokiem.