Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym i nierównoramiennym dwusieczna kąta prostego jest też i dwusieczną między wysokością a środkową.Dwa kąty
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dwa kąty
Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym i nierównoramiennym dwusieczna kąta prostego jest też i dwusieczną między wysokością a środkową.-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Dwa kąty
Niech przyprostokątnymi będą \(\displaystyle{ a, b}\) gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) , a leżącymi naprzeciw nich kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta }\).
1) Sieczna zawierająca środkową dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzyskany trójkąt zawierający środkową i bok \(\displaystyle{ b }\) jest równoramienny, więc kąt między środkową i \(\displaystyle{ b }\) wynosi \(\displaystyle{ \alpha }\). Szukany kąt między środkową i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\)
Sieczna zawierająca wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzyskany trójkąt zawierający wysokość i bok \(\displaystyle{ a }\) jest podobny do pierwotnego trójkąta, więc kąt między wysokością i \(\displaystyle{ a }\) wynosi \(\displaystyle{ \alpha }\). Szukany kąt między wysokością i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\)
2) Powyższy trójkąt w układzie współrzędnych ma wierzchołki \(\displaystyle{ (0,0), \ (a,0), \ (0,b)}\).
Równanie prostej zawierającej dwusieczną to \(\displaystyle{ y=x}\)
Równanie prostej zawierającej środkową to \(\displaystyle{ y= \frac{b}{a} x}\)
Równanie prostej zawierającej wysokość to \(\displaystyle{ y= \frac{a}{b} x}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{b}{a} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{b}{a}= \frac{1}{ \frac{a}{b} }= \frac{1}{\tg \alpha } =\ctg \alpha =\tg (90^0- \alpha ) }\)
Kąt między wysokością i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\) , a kąt między środkową i dwusieczną to \(\displaystyle{ (90^0- \alpha)-45^0=45^0 - \alpha }\)
1) Sieczna zawierająca środkową dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzyskany trójkąt zawierający środkową i bok \(\displaystyle{ b }\) jest równoramienny, więc kąt między środkową i \(\displaystyle{ b }\) wynosi \(\displaystyle{ \alpha }\). Szukany kąt między środkową i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\)
Sieczna zawierająca wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzyskany trójkąt zawierający wysokość i bok \(\displaystyle{ a }\) jest podobny do pierwotnego trójkąta, więc kąt między wysokością i \(\displaystyle{ a }\) wynosi \(\displaystyle{ \alpha }\). Szukany kąt między wysokością i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\)
2) Powyższy trójkąt w układzie współrzędnych ma wierzchołki \(\displaystyle{ (0,0), \ (a,0), \ (0,b)}\).
Równanie prostej zawierającej dwusieczną to \(\displaystyle{ y=x}\)
Równanie prostej zawierającej środkową to \(\displaystyle{ y= \frac{b}{a} x}\)
Równanie prostej zawierającej wysokość to \(\displaystyle{ y= \frac{a}{b} x}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{b}{a} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{b}{a}= \frac{1}{ \frac{a}{b} }= \frac{1}{\tg \alpha } =\ctg \alpha =\tg (90^0- \alpha ) }\)
Kąt między wysokością i dwusieczną to \(\displaystyle{ 45^0 - \alpha }\) , a kąt między środkową i dwusieczną to \(\displaystyle{ (90^0- \alpha)-45^0=45^0 - \alpha }\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Dwa kąty
A elementarnie.. 
Dodano po 2 dniach 7 godzinach 51 minutach 22 sekundach:
Elementarny bedzie oparty na wykazaniu, że trójkat \(\displaystyle{ ACD }\) jest równoramienny.
Dodano po 2 dniach 7 godzinach 51 minutach 22 sekundach:
Elementarny bedzie oparty na wykazaniu, że trójkat \(\displaystyle{ ACD }\) jest równoramienny.- Załączniki
-
- trojkat.jpg (21.34 KiB) Przejrzano 341 razy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy