Dzień dobry!
Poproszę o pomoc.
Środkowa BD trójkąta ABC ma długość 6 i dzieli kąt \(\displaystyle{ \beta }\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ \angle CBD =30 ^{o} }\) i \(\displaystyle{ \angle ABD = 45 ^{o} }\). Mam rozpisane trzy twierdzenia cosinusów i stopień skomplikowania równań jest znaczny. Czy jest na to jakiś inny sposób?
Długość boków przy danej środkowej i dwóch kątach.
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 31 razy
Re: Długość boków przy danej środkowej i dwóch kątach.
Dla dużego trójkąta czy dla któregoś z tych mniejszych?
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Długość boków przy danej środkowej i dwóch kątach.
Dla dużego i małego - aby mieć ten sam kąt + drugi dany. Układ równań - jedna z długości (połowa boku AC) skróci się.
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Długość boków przy danej środkowej i dwóch kątach.
Ja napisałem twierdzenie sinusów w trójkątach \(\displaystyle{ \triangle CBD}\) oraz \(\displaystyle{ \triangle ABD}\). Po podstawieniu wyszło mi
\(\displaystyle{ \frac{BC}{AB}=\frac{\sin 45}{\sin 30}=\sqrt{2}}\).
Potem twierdzenie cosinusów w dużym trójkącie i wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{AC}{AB}=\sqrt{3-2\sqrt{2}\cos75}=\sqrt{4-\sqrt{3}}}\).
Wreszcie ze wzoru na środkową wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{AB}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Reszta to formalność.
\(\displaystyle{ \frac{BC}{AB}=\frac{\sin 45}{\sin 30}=\sqrt{2}}\).
Potem twierdzenie cosinusów w dużym trójkącie i wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{AC}{AB}=\sqrt{3-2\sqrt{2}\cos75}=\sqrt{4-\sqrt{3}}}\).
Wreszcie ze wzoru na środkową wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{AB}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Reszta to formalność.