Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3524
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1025 razy
Pomógł: 6 razy

Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: max123321 »

Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ r=p-c}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\)-promień okręgu wpisanego w dany trójkąt i \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(a+b+c) }\), to trójkąt ten jest prostokątny z kątem prostym leżącym na przeciwko boku \(\displaystyle{ c}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23512
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3269 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: piasek101 »

1) wzór na pole z sinusem kąta z zadania
2) wzór na pole z promieniem okręgu wpisanego
3) twierdzenie cosinusów

I przekształcać aby dojść do tezy.

Zastanawiałem się też czy nie można od razu zauważyć, że w prostokątnym mamy \(\displaystyle{ r=0,5(a+b-c)}\), czyli z danych zadania właśnie to wynika.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8023
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 1699 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: janusz47 »

Druga myśl prowadzi do prostszego rozwiązania.

Aby wykazać implikację:

Jeśli \(\displaystyle{ r = p-c }\) i \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}(a+b+c) }\) to trójkąt jest prostokątny,

podstawiamy \(\displaystyle{ r = p - c = \frac{1}{2}(a+b+c) -c = \frac{1}{2}(a+b-c) }\) i wykazujemy, że długość promienia okręgu wpisanego tylko w trójkąt prostokątny spełnia to równanie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22340
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 3789 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ \red{P}=\frac{a+b+c}{2}r=\frac{a+b+c}{2}\frac{a+b-c}{2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{4}=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}+\frac{ab}{2}\\
=\frac{2ab\cos\gamma}{4}+\red{\frac{ab}{2}\sin\gamma }+\frac{ab}{2}(1-\sin\gamma) }\)

Stąd
\(\displaystyle{ 0=\cos\gamma+1-\sin\gamma}\)
zatem
\(\displaystyle{ \gamma=\pi/2}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2024, o 16:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3524
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1025 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: max123321 »

No faktycznie a4karo, fajny dowód, nie zauważyłem tego, ale trzeba przyznać, że trzeba mieć trochę sprawności rachunkowo-geometrycznej, żeby tak to napisać.

A swoją drogą, jak najprościej uzasadnić, że z \(\displaystyle{ 0=\cos\gamma+1-\sin\gamma}\) wynika \(\displaystyle{ \gamma=\pi/2}\)? Bo ja to tego cosinusa zamieniłem na sinusa, a potem ze wzoru na sumę sinusów, ale może jakoś prościej się da?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22340
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 3789 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: a4karo »

Przenieś jedynkę na drugą stronę i podnieś do kwadratu
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3524
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1025 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: max123321 »

No dobrze, ale to trzeba chyba zrobić jakieś założenia, że \(\displaystyle{ \sin\gamma-\cos\gamma>0}\)? Bo, po podniesieniu do kwadratu, trzeba wykluczyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ \sin\gamma-\cos\gamma=-1}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22340
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 3789 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: a4karo »

Jak już rozwiążesz to, co dostaniesz, to wtedy sprawdzisz które rozwiązania spełniają równanie, a które nie. To się nazywa analiza starożytnych
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3524
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1025 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: max123321 »

No racja, to ma sens.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16332
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3251 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: anna_ »

Inny sposób.

\(\displaystyle{ r=p-c}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)

\(\displaystyle{ P=pr\\\\
P=p(p-c)}\)


\(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

\(\displaystyle{ p(p-c)=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ \ \ |()^2\\\\
p^2(p-c)^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\ \ \ |:p(p-c)\\\\
p(p-c)=(p-a)(p-b)\\\\
...\\\\
p=\frac{ab}{a+b-c}}\)


\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{2}\\\\
(a+b-c)(a+b+c)=2ab\\
(a+b)^2-c^2=2ab\\\\
a^2+2ab+b^2-c^2-2ab=0\\\\
a^2+b^2=c^2}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8023
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 1699 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ a+b+ c = a -r + r +r + b-r +b - r + a -r }\)

\(\displaystyle{ a+b+c = 2a +2b - 2r }\)

\(\displaystyle{ 2r = a + b -c }\)

\(\displaystyle{ r = \frac{a +b - c}{2}.}\)
Załączniki
20240926_152239.jpg
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: dzialka11o »

Przypadek wyjątkowy :
Pole trójkąta prostokątnego wynosi P=84
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi r=3 .
Jakie wymiary ma ten trójkąt prostokątny w liczbach całkowitych ?

T.W.

Dodano po 8 minutach 46 sekundach:
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego prostokąta w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
T.W.

Dodano po 1 dniu 7 minutach 10 sekundach:
Było błędnie zadane pytanie :
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego prostokąta w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
_________________________________________________________________________
O to pytanie :
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego trójkąta prostokąta o polu P = 84 w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
T.W.

Dodano po 24 minutach 26 sekundach:
Podobne zadanie :
Jakie ma wymiary trójkąt prostokątny o polu P = 30
( Mało znana tożsamość P = r (r + c ) . )
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt
c - najdłuższy bok tego trójkąta .
Kto wie jak zabrać się do tego typy zadań .
T.W.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8023
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 1699 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: janusz47 »

Nie istnieje taki trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ 84, }\) bo choć jego przyprostokątne będą miały długość wyrażoną w liczbach całkowitych na przykład:

\(\displaystyle{ a = 21,\ \ b = 8 }\) lub \(\displaystyle{ a = 24,\ \ b= 7 }\) itd. ... ,to długość jego przeciwprostokątnej nie będzie liczbą całkowitą

\(\displaystyle{ c = \sqrt{21^2 + 8^2} \notin \ZZ, \ \ c = \sqrt{24^2 + 7^2} \notin \ZZ.}\)
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 692
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 222 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: JHN »

janusz47 pisze: 2 paź 2024, o 13:39 Nie istnieje taki trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ 84, }\) bo [...] \(\displaystyle{ c = \sqrt{24^2 + 7^2} \notin \ZZ.}\)
Według mnie \(\sqrt{24^2 + 7^2}=25\in\ZZ\).

Pozdrawiam
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Dany jest trójkąt o bokach a,b,c

Post autor: dzialka11o »

Było zapytanie ;
Jakie ma wymiary trójkąt prostokątny o polu P = 30
w liczbach całkowitych .
T.W.
ODPOWIEDZ