Matematyka.pl

Korzystając z pozostaje rozwiązać w liczbach całkowitych dodatnich równanie
\[{1\over2}\cdot(m^2-n^2)\cdot(2\cdot m\cdot n)=30\iff\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}\]
Skąd:
\[\begin{cases}a=5\\b=12\\c=13\end{cases}\]
Pozdrawiam

OK!
A jak to się ma do Twierdzenia Ptolemeusza dla prostokątów o bokach całkowitych i
i przekątnych tego kwadratu w liczbach całkowitych .
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Ptolemeusza
T.W.

Dodano po 48 minutach 52 sekundach:
Proszę o skrótowe wyjaśnienie :
Jak obliczono \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) dla danego przypadku ( przykładu )
Tu warunek konieczny spełniony gdyż \(\displaystyle{ m > n}\) ; bo \(\displaystyle{ 3 > 2.}\)
T.W.

Dodano po 2 dniach 3 godzinach 33 minutach 55 sekundach:
Spostrzeżenia ;
Iloczyn boków trójkątów pitagorejskich zawsze dzieli się przez 60 .
Jakie algorytmy ma "" sito matematyczne "" aby oddzielić trójki pitagorejskie pierwotne
od pozostałych trójek pitagorejskich .
Po naszemu : jak rozróżnić prostokątne "trójkąty pitagorejskie pierwotne"
od pozostałych prostokątnych trójkątów pitagorejskich ( oraz od trójkątów egipskich )
-
W rozmaitościach matematycznych:
Znany jest humorystyczny obrazek , gdzie widzimy nauczyciela Babilończyka z jego uczniem przy piramidzie Cheopsa z sitem
Uczeń pyta co przesiewasz ? Oddzielam prostokątne trójkąty pierwotne pitagorejskie od od pozostałych trójkątów pitagorejskich ,
udało mi się na tym sicie mozolną pracą trochę uzbierać . Uczeń powiada ; a czy prawidłowo obliczyłeś
oczka w tym sicie ? Nauczyciel zakłopotany . Uczeń po krótkim zastanowieniu przedkłada nauczycielowi proste obliczenia oczek dla tego sita.
Zadowolony uczeń swego sukcesu powiada ja ten pomysł znałem już od dawna !
-
Nasuwa się wniosek : Babilończycy ( jak i starożytni Egipcjanie) znali znali ten algorytm .
Kto zna ten algorytm ?
Z poważaniem T.W.

Dodano po 1 dniu 1 godzinie 18 minutach 24 sekundach:
Jak rozróżnić prostokątne "trójkąty pitagorejskie pierwotne"
od pozostałych prostokątnych trójkątów pitagorejskich ( oraz od trójkątów egipskich )
-
Szukam tego algorytmu i nic mi z tego nie wychodzi
Co nieco może wyjaśnić przedłożona strona :
https://pl.wikipedia.org/wiki/Algorytm_Euklidesa

Dodano po 1 dniu 20 godzinach 51 minutach 59 sekundach:
Zauważmy :
Do trójkątów pierwotnych należy trójkąt prostokątny o bokach całkowitych ( b , c , a ) [ 4 , 5 , 3 ]
Jeśli w tym trójkącie od boku najdłuższego odejmiemy bok leżący po przeciwnej stronie kąta prostego
to otrzymamy 5 - 4 = 1 , ( oraz 5-3 =2 o wartości parzystej).
Ta podobna zależność zachodzi dla każdych prostokątnych trójkątów pierwotnych o bokach w liczbach całkowitych .
Czy taka zależność zachodzi dla pozostałych trójkątów pitagorejskich nie pierwotnych , okazuje się że nie .
..................................................................................................................................
Jeśli mamy w określonym zbiorze dowolną ilość trójkątów prostokątnych pitagorejskich
w tym i trójkąty pierwotne pitagorejskie to aby je posortować { lub odróżnić } wystarczy po prostu najprościej skorzystać z podanej zależności .
c-b =1 ten trójkąt odkładamy do zbioru trójkątów pitagorejskich pierwotnych ,
c-b >1 ten trójkąt odkładamy do zbioru trójkątów pitagorejskich nie pierwotnych itd. ( [c-b] o wartości parzystej)

Jeśli by otrzymać zbiór tylko trójkątów pitagorejskich
to zagadnienie bardziej złożone ale możliwe ?
Z poważaniem T.W.


PS.
Na poziomie szkolnym dużo może przybliżyć i częściowo wyjaśnić tą problematykę , między innymi przedłożony załącznik ;
[ciach]

[brak LaTeXa]

Dodano po 22 godzinach 36 minutach 42 sekundach:
Wracam do pytania :
W jaki sposób otrzymać prostokątne " pierwotne trójkąty pitagorejskie" o bokach w liczbach całkowitych ?
Zauważamy że te trójkąty wyróżniają się takimi o to właściwościami ,
- mają dwa boki o liczbach całkowitych nieparzystych i jednym boku o liczbach parzystych .
- najmniejszy bok jest zawsze liczbą całkowitą nieparzystą ,
- największy bok w liczbach całkowitych nieparzystych leży na przeciw kąta prostego w tym trójkącie
- obwód tego trójkąta jest liczba parzystą i zarazem jest iloczynem (boku najmniejszego) i (liczby (parzystej), ? (dodaj do tego boku (1) )
- jeśli od całkowitego obwodu odejmniemy bok najmniejszy to otrzymamy wynik o nieparzystej wartości :
( to suma pozostałych boków : (parzystego największego) i (nieparzystego największego leżącego na przeciw kąta prostego),
- ile wynosi różnica między (bokiem największym nieparzystym ) a ( bokiem największym parzystym) ; odpowiedź (1)
Okazuje się że w oparciu o te podane właściwości można znaleźć " pierwotne trójkąty pitagorejskie"
w sześciu kolejnych krokach : krok po kroku
Ilość tych kroków jest zawsze ta sama i nie zależy od wyboru liczby nieparzystej .
( Tą samą ilość kroków również wykonamy w przypadku najmniejszego trójkąta egipskiego ,
[bo jeden z jego boków jest najmniejszą liczbą nieparzystą całkowitą ]
który jak wiemy należy do zbioru " pierwotnych trójkątów pitagorejskich " )

Pozdrawiam T.W.

Jak wiemy u starożytnych arytmetyka "szła w parze" mocno z geometrią. Tw Pitarorasa gra tu szczególna rolę. Mówimy, ze liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ A, B, C}\) tworzą trójkę pitagorejską, gdy \(\displaystyle{ A^2+ B^2 =C^2}\). Pitagorejczycy znali taką oto regułę (wzór a) ) wyznaczania takich trójek. zaś wzór b) niektore źródła przypisuja Platonowi (wg innych Archytas ,IV w. p.n.e):

a) Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą nieparzystą, to liczby \(\displaystyle{ N, \ \frac{N^2-1}{2}, \ \frac{N^2+1}{2}}\) stanowią trójkę pitagorejską. **

b) Jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest liczbą parzystą, to liczby \(\displaystyle{ M, \ (\frac{M}{2})^2-1, \ (\frac{M}{2})^2+1}\) stanowią trójkę pitagorejską.

Dzięki ! : tego właśnie szukałem /
Faktycznie wzór a) : generuje " pitagorejskie trójkąty pierwotne"

Zauważmy :
Każdy "pitagorejski trójkąt pierwotny między innymi ma tą właściwość,
- że najkrótszy jego bok jest zawsze liczbą nieparzystą ,
- iloczyn jego boków przyprostokątnych stanowi pole o podwojonej wartości w liczbach całkowitych,
- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest liczba całkowitą ,
- jego obwód jest iloczynem najkrótszego jego boku i liczby parzystej ? ( jaka to liczba ?) ,
-
-
Nadmieniam że :
[ Trójkąty pitagorejskie pierwotne można też otrzymać ( inaczej ) w sześciu kolejnych krokach ;
krok po kroku znając jego najmniejszy bok , który jest liczbą całkowitą nieparzystą .
( najdłuższy bok nieparzysty leży naprzeciwko kąta prostego ).


Pozdrawiam
T.W.

Jeśli \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) jest trójką pitagorejską to jest nią też trójka \(\displaystyle{ (2a+b+2c,a+2b+2c, 2a+2b+3c)}\)

C. dalszy:
Jeżeli znamy obwód pierwotnego trójkąta pierwotnego to zadanie jest możliwe do rozwiązania
w sześciu kolejnych krokach : krok po kroku .
Obwód tego trójkąta jest iloczynem wybranej liczby nieparzystej i liczby parzystej .
Jaka to liczba ?
Ta parzysta liczba to liczb całkowita zaraz po niej ; ( między kolejnymi liczbami nieparzystymi jest liczba parzysta )
- pierwszy krok ; szukamy obwodu tego trójkąta .
( Jeśli od obwodu tego trójkąta prostokątnego odejmiemy bok zawierający dowolnie wybraną liczbę nieparzysta w tym trójkącie prostokątnym
to otrzymamy wynik pozostałych boków ; ( suma tych boków jest liczbą nieparzystą ).

Wg podanego wzoru jaki przytacza < mol-ksiazkowy>
dla wybranej dowolnie liczby nieparzystej w pierwotnym trójkącie pitagorejskim ,
pozostałe boki wyznaczają w dwóch kroki (krok po kroku) .
Tego właśnie się nie spodziewałem ?/
Z poważaniem .
T.W.

Dodano po 1 dniu 43 minutach 22 sekundach:
Do
autor: mol_ksiazkowy » 14 paź 2024, o 20:49
Podaj kilka przykładów takich trójkątów prostokątnych wg podanych przez Ciebie w tym poście arytmetycznych zależności .
jak na razie to nie wiem od czego wystartować ?
T.W.

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 29 sekundach:
Boki trójkątów pitagorejskich pierwotnych w liczbach całkowitych
można też wyznaczyć w trzech kolejnych krokach ; krok po kroku .
Jakie zależności arytmetyczne zachodzą w każdym kroku ?
Ciekawostka :
Wybierzmy kilka kolejnych po sobie pierwotnych trójkątów pitagorejskich . ( ponumerujmy te trójkąty )
Dla każdego z nich wylicz promień okręgu wpisanego , zauważamy że są wyrażone kolejnymi
po sobie liczbami całkowitymi , ( zauważmy; promień okręgu wpisanego w każdym z nich ,to "odpowiednik numeru " tej kolejnej liczby ) .

Pozdrawiam .
T.W.

Dodano po 1 dniu 4 godzinach 9 minutach 17 sekundach:
Każdy trójkąt pitagorejski którego najmniejszy jego bok jest liczba nieparzystą całkowitą należy
do zbioru trójkątów pitagorejskich pierwotnych .
Okazuje się że promienie okręgów wpisanych w te trójkąty równe są numerowi w tej kolejności :tzn. "kolejnemu trójkątowi" w tym zbiorze .
To pewnik nie do obalenia ?
-
W takim razie od razu wiadomo ile wynosi promień wpisany w dowolnie wybranym pitagorejskim trójkącie pierwotnym .
Znając jego najmniejszy bok , obwód i promień wpisany to wyliczymy jego podwojone pole .
( podwojone pole to prostokąt o bokach całkowitych którego przekątna stanowi liczbę całkowita spełniającą równanie Pitagorasa
i dzieli ten prostokąt na dwa równe pola) .
Dalsze działania nasuwają się same ,aby wyznaczyć dwa pozostałe boki takiego trójkąta pierwotnego
w trzech kolejnych krokach : krok po kroku .
Z poważaniem .
T.W .

[ciach]

Dodano po 1 dniu 23 godzinach 16 minutach 24 sekundach:
Uzasadnić :
W dowolnych trójkątach w których jeden bok stanowi liczbę równą pierwiastkowi z liczby nieparzystej ,
a pozostałe dwa boki tych trójkątów są liczbami całkowitymi ,
to trójkąty te są trójkątami prostokątnymi .
T.W.

Dodano po 19 dniach 20 godzinach 59 minutach 29 sekundach:
Jak znaleźć najmniejszy trójkąt prostokątny, którego obwód jest równy polu tego trójkąta?
T.W.

[ciach]

OK!
Do : < Mol-książkowy>
Czy jest możliwe działanie odwrotne , to znaczy znaleźć trójki pitagorejskie pierwotne
znając obliczone trójkąty prostokątny pitagorejski wg podanej zależności w poniższym załączniku .
--
Dla dociekliwych równie ciekawe cegiełki Eulera :
https://pl.wikipedia.org/wiki/Cegiełka_Eulera
Pozdrawiam
T.W.

Załącznik : to również ciekawy materiał analityczny " rodzaju trójek pitagorejskich "
https://pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie