Matematyka.pl

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Mamy \(\displaystyle{ AB=AC}\), \(\displaystyle{ \angle CAB=20^\circ}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ \angle DCB=60^\circ}\), punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ \angle EBC=50^\circ}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \angle CDE}\).

Nie mam pojęcia jak to zrobić. Może mi ktoś pomóc?

W trójkącie równoramienny, przy jego podstawie \(\displaystyle{ \left|BC\right| }\) kąty są wzajemnie równe \(\displaystyle{ \angle ABC=\angle ACB}\)
\(\displaystyle{ 01. \angle ABC=\angle ACB}\)

\(\displaystyle{ 02. \angle ABC=\angle ABE + \angle CBE \\
\;\;\angle ABC=\angle ABE + 50^\circ}\)

\(\displaystyle{ 03.\angle ACB=\angle ACD + \angle BCD \\
\;\;\angle ACB=\angle ACD + 60^\circ }\)

Wykorzystując równania z pkt. 01, 02 i 03 otrzymujemy:
\(\displaystyle{
\angle ABE + 50^\circ = \angle ACD + 60^\circ
}\)
co daje nam:

\(\displaystyle{ 04. \angle ABE - \angle ACD = 10^\circ}\)

W każdym trójkącie suma jego kątów wynosi \(\displaystyle{ 180^\circ}\)

\(\displaystyle{ 05. \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ }\)
co daje nam:
\(\displaystyle{ (\angle ABE + \angle CBE) + (\angle BCD + \angle ACD) + \angle CAB = 180^\circ }\)
\(\displaystyle{ (\angle ABE + 50^\circ) + (60^\circ + \angle ACD) + 20^\circ = 180^\circ }\)
co daje nam:
\(\displaystyle{ 06. \angle ABE + \angle ACD = 50^\circ}\)

Wykorzystując równania z pkt. 04 i 06
\(\displaystyle{ \angle ABE - \angle ACD = 10^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle ABE + \angle ACD = 50^\circ}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ 07. \angle ABE = 30^\circ}\)
\(\displaystyle{ 08. \angle ACD = 20^\circ}\)

Ustalamy nowy punkt W, który znajduje się na przecięciu dwóch odcinków \(\displaystyle{ \left|CD\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left|BE\right| }\)
Z punktu W wychodzą 4 kąty wierzchołkowe o odpowiednich relacjach:
\(\displaystyle{ 09. \angle BWC = \angle DWE}\)
\(\displaystyle{ 10. \angle BWD = \angle CWE}\)

Wyliczamy wartość kątów \(\displaystyle{ \angle BWC = \angle DWE}\), korzystając z definicji o sumie kątów trójkąta równej \(\displaystyle{ 180^\circ}\) mamy:

\(\displaystyle{ \angle BWC = \angle DWE = 180^\circ - \angle BCD - \angle CBE }\)
\(\displaystyle{ \angle BWC = \angle DWE = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ}\)
\(\displaystyle{ 11. \angle BWC = \angle DWE = 70^\circ}\)

Wyliczamy wartość kątów \(\displaystyle{ \angle BWD = \angle CWE}\), korzystając z definicji o kątach wierchołkowych, których suma jest równa \(\displaystyle{ 360^\circ}\) mamy:

\(\displaystyle{ \angle BWD = \angle CWE = (360^\circ - 2\cdot\angle BWC)\div2 }\)
\(\displaystyle{ \angle BWD = \angle CWE = (360^\circ - 2\cdot70^\circ)\div2}\)
\(\displaystyle{ \angle BWD = \angle CWE = (360^\circ - 140^\circ)\div2}\)
\(\displaystyle{ \angle BWD = \angle CWE = (220^\circ)/2}\)
\(\displaystyle{ 12. \angle BWD = \angle CWE = 110^\circ}\)

Wyliczamy wartość kąta \(\displaystyle{ \angle BEC}\), korzystając z definicji o sumie kątów trójkąta równej \(\displaystyle{ 180^\circ}\) mamy:

\(\displaystyle{ \angle BEC = 180^\circ - \angle CBE - (\angle BCD + \angle ACD) }\)
\(\displaystyle{ \angle BEC = 180^\circ - 50^\circ - (60^\circ + 20^\circ)}\)
\(\displaystyle{ \angle BEC = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ}\)
\(\displaystyle{ 13. \angle BEC = 50^\circ}\)

Wyliczamy wartość kąta \(\displaystyle{ \angle BEC}\), korzystając z definicji o sumie kątów trójkąta równej \(\displaystyle{ 180^\circ}\) mamy:

\(\displaystyle{ \angle BDC = 180^\circ - \angle DCB - (\angle ABE + \angle CBE) }\)
\(\displaystyle{ \angle BDC = 180^\circ - 60^\circ - (30^\circ + 50^\circ)}\)
\(\displaystyle{ \angle BDC = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ}\)
\(\displaystyle{ 14. \angle BDC = 40^\circ}\)


Następnie wprowadzamy oznaczenia dla kątów:
\(\displaystyle{ k1 = \angle AED}\)
\(\displaystyle{ k2 = \angle BED}\)
\(\displaystyle{ k3 = \angle ADE}\)
\(\displaystyle{ \textbf{k4} = \angle \textbf{CDE}}\)

Wyliczamy wartość kątów \(\displaystyle{ k1, k2, k3, \textbf{k4}}\), korzystając z definicji o sumie kątów trójkąta równej \(\displaystyle{ 180^\circ}\)mamy:

\(\displaystyle{ k1 + k3 + \angle BAC = 180^\circ \Rightarrow k1 + k3 + 20^\circ = 180^\circ}\)
\(\displaystyle{ k1 + k2 + \angle BAC + \angle ABE = 180^\circ \Rightarrow k1 + k2 + 20^\circ + 30^\circ = 180^\circ}\)
\(\displaystyle{ k3 + \textbf{k4} + \angle BAC + \angle ACD = 180^\circ \Rightarrow k3 + \textbf{k4} + 20^\circ + 20^\circ = 180^\circ}\)
\(\displaystyle{ k2 + \textbf{k4} + \angle DWE = 180^\circ \Rightarrow k2 + \textbf{k4} + 70^\circ = 180^\circ}\)

Wyliczamy wartość sumy kątów \(\displaystyle{ k1, k2, k3, \textbf{k4}}\), korzystając z definicji o sumie kątów czworokąta równej \(\displaystyle{ 360^\circ}\)mamy:
\(\displaystyle{ k1 + k2 + k3 + \textbf{k4} + \angle BAC + \angle DWE = 360^\circ \Rightarrow k1 + k2 + k3 + \textbf{k4} + 20^\circ + 70^\circ= 360^\circ}\)

Po uporządkowaniu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ k1 + k2 = 130^\circ}\)
\(\displaystyle{ k1 + k3 = 160^\circ}\)
\(\displaystyle{ k2 + \textbf{k4} = 110^\circ}\)
\(\displaystyle{ k3 + \textbf{k4} = 140^\circ}\)
\(\displaystyle{ k1 + k2 + k3 + \textbf{k4} = 270^\circ}\)

Brakuje równania dla:
\(\displaystyle{ k1 + \textbf{k4} = ?}\)
\(\displaystyle{ k2 + k3 = ?}\)

Z tego wynika:
\(\displaystyle{ \textbf{k4} = k1 - 20^\circ}\)
\(\displaystyle{ \textbf{k4} = 110^\circ - k2}\)
\(\displaystyle{ \textbf{k4} = 140^\circ - k3}\)

Komentarz:
Nie widzę jeszcze jednego równania, aby zamknąć układ równań i wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \textbf{k4} = \angle \textbf{CDE}}\).
Może użycie długości boku odcinków \(\displaystyle{ \left|AC\right| lub \left|BC\right| = \textbf a }\), jako zmiennej, to umożliwi rozwiązanie zadania z jednym parametrem.

No właśnie też mi się wydaje, że tutaj jakby brakowało danych. Czy może się jeszcze ktoś wypowiedzieć?

Zadanie było tu na forum i zostało (raczej - bo pewności nie mam) rozwiązane. Szukaj - wpisz kawałek oryginału.

[edit] Tu jakaś wskazówka (ale gdzieś było całe)
geometria-trojkata-f110/miara-kata-mied ... 20555.html

Kuźwa jakie to trudne. Zobaczyłem tą wskazówkę, fakt, jest to jakiś pomysł, ale nie wiem jak dalej postępować. Dobrze by było zobaczyć pełne rozwiązanie?

piasek101 pisze: ↑16 lis 2023, o 21:34 Zadanie było tu na forum i zostało (raczej - bo pewności nie mam) rozwiązane. Szukaj - wpisz kawałek oryginału.

[edit] Tu jakaś wskazówka (ale gdzieś było całe)
geometria-trojkata-f110/miara-kata-mied ... 20555.html

Zobaczyłem to zadanie i rozwiązania nie widzę dalej.

Może należy spojrzeć na nie z innej strony i użyć przynajmniej jednej zmiennej, która jest opisana jako długość jednego z dwóch równych sobie ramion trójkąta ABC, czyli długość a.
Chyba, że ktoś ma inny lepszy pomysł.

Kurde no, ale Piasek coś pisze, że to zadanie zostało tu gdzieś w pełni rozwiązane, ale linka brak, a w tym linku, który podaje jest tylko wskazówka, ale nie wiadomo co dalej. Trochę słabo.

Ja się skłaniam bardziej ku temu co napisał wnetzrobione bo siedziałem nad tym zadaniem parę godzin i bez skutku. Tak jakby jakichś danych brakowało. Albo może jest jakiś genialny pomysł, którego nie widzę.

W ogóle jakieś dziwne to zadanie. Może się jeszcze ktoś wypowiedzieć?

Napisałem ,,raczej bo pewności nie mam". Sam z nim miałem kłopot i nie udało mi się. Przypominam sobie, że wątek śledziłem, a nie był to ten do którego link podałem.

Zasadniczo to było zadanie Nicks mathematical-puzzles z nieistniejacej już strony qbyte.org. (może jest gdzieś archiwum)?

zostal tylko temat z rysunkiem

https://dokumen.tips/documents/nicks-mathematical-puzzles-1-to-160.html?page=12

tj. powinno istnieć krótkie i elementarne rozwiazanie.

Zasadniczo problem ten, był na forum:
geometria-trojkata-f110/kacik-t451349.html

Znanych jest przynajmniej kilka rozwiązań.

Wiedząć, że kąt \(\displaystyle{ \angle BEC}\):
\(\displaystyle{ \angle BEC = 180^\circ - \angle BCE - \angle CBE \Rightarrow \angle BEC = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle BEC = 50^\circ \Rightarrow \angle BEC = \angle CBE}\)
to, z tego wynika, że \(\displaystyle{ \left|CE\right|=\left|CG\right| }\) a trójkąt \(\displaystyle{ \triangle{BCE}}\) jest równoramienny

Wyznaczamy punkt G, który powstaje poprzez poprowadzenie półprostej z punktu C
w kierunku odcinka \(\displaystyle{ \left|AB\right| }\) pod kątem \(\displaystyle{ 20^\circ}\) od podstawy \(\displaystyle{ \triangle{ABC}}\)
Powstały trójkąt \(\displaystyle{ \triangle{BCG}}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \triangle{ABC}}\)
oraz \(\displaystyle{ \left|CB\right|=\left|CG\right| }\)

Wyliczamy kąt \(\displaystyle{ \angle ECG}\)
\(\displaystyle{ \angle ECG = \angle BCE - \angle BCG \Rightarrow \angle ECG = 80^\circ - 20^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle ECG = 60^\circ}\)
oraz, że trójkąt:
\(\displaystyle{ \triangle{CEG}}\) jest równoboczny i wszystkie jego kąty są równe \(\displaystyle{ 60^\circ}\)
oraz, że:
\(\displaystyle{ \left|CE\right|=\left|CG\right| =\left|CB\right|=\left|EG\right|}\)

Wyliczamy kąt \(\displaystyle{ \angle CGD}\)
\(\displaystyle{ \angle CGD = 180^\circ - \angle CGB \Rightarrow \angle CGD = 180^\circ - 80^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle CGD = 100^\circ}\)

Wyliczamy kąt \(\displaystyle{ \angle DGE}\)
\(\displaystyle{ \angle DGE = 180^\circ - \angle CGB - \angle CGE \Rightarrow \angle CGD = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle DGE = 40^\circ}\)

Znając kąty \(\displaystyle{ \angle DGE = 40^\circ, \angle DCG = 40^\circ, \angle CDG = 40^\circ }\)
\(\displaystyle{ \triangle{CDG}}\) jest równoramienny i jego dwa boki \(\displaystyle{ \left|DG\right|=\left|CG\right| }\)

Zestawiając powyższe:
\(\displaystyle{ \left|CE\right|=\left|CG\right| =\left|CB\right|=\left|EG\right|=\left|DG\right|}\)
wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ \triangle{DGE}}\) jest równoramienny, a jego kąt \(\displaystyle{ \angle DGE = 40^\circ}\)
co oznacza, że kąt:
\(\displaystyle{ \angle EDG = (180^\circ - \angle DGE)\div2 \angle EDG \Rightarrow \angle EDG = 70^\circ }\)

Powyższe umożliwi wyliczenie kąta \(\displaystyle{ \angle CDE}\)
\(\displaystyle{ \angle CDE = \angle EDG - \angle CDG \Rightarrow \angle CDE = 70^\circ - 40^\circ }\)
\(\displaystyle{ \angle \textbf{CDE} = \textbf{30}^\circ}\)


Rozwiązanie tego zadania jest podane także na wikipedii