Matematyka.pl

W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ P}\), w jego wnętrzu, że kąt \(\displaystyle{ PAB}\) jest równy \(\displaystyle{ 10^{o}}\), kąt \(\displaystyle{ PBA}\) jest równy \(\displaystyle{ 20^{o}}\), a także kąt \(\displaystyle{ PCA}\) jest równy \(\displaystyle{ 30^{o}}\), kąt \(\displaystyle{ PAC}\) jest równy \(\displaystyle{ 40^{o}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny.

Jest to obraz obrazujący to zadanie

Ponieważ z dokładnego rysowania kątomierzem i linijką od razu wyszło, że powinno być:

\(\displaystyle{ x=z}\)

Bez profesjonalnego inżynierskiego rysunku trzeba by było sprawdzać wszystkie kombinacje co czemu może być równe:

\(\displaystyle{ x=y, x=z, y=z}\)

żeby to udowodnić wystarczy zastosować kilka razy twierdzenie sinusów i raz twierdzenie cosinusów...

Stosując się do rysunkowych oznaczeń łatwo otrzymamy z sinusów:

\(\displaystyle{ x= \frac{a}{2 \sin 10^0}}\)

\(\displaystyle{ y=4a\cos 10^o \cos 20^0}\)

teraz z cosinusów:

\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2-2xy \cos 50^0}\)

mamy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ z^2=x^2}\)

lub, że:

\(\displaystyle{ x^2+y^2-2xy \cos 50^0=x^2}\)

\(\displaystyle{ 2x \cos 50^0=y}\)

podstawiając za \(\displaystyle{ x}\) i za \(\displaystyle{ y}\) powyższe otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{a}{2\sin 10^0} \cdot \cos 50^0 =4a \cos 10^0 \cdot \cos 20^0}\)

to wszystko się uprości i otrzymamy:

pamiętając jeszcze, że: \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha= \sin 2\alpha}\)

\(\displaystyle{ \cos 50^0=\sin 40^0}\)

Co nie wymaga komentarza...