Boki trójkąta mają długość

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: dzialka11o »

Jeżeli prostokątny trójkąt egipski powiększymy dwukrotnie to otrzymamy trójkąt:
który ma da rozwiązani w liczbach całkowitych : ( 8 , 6 , 10 ) , oraz ( 9 , 3 , 10 )
Powiększony pięciokrotnie też ma dwa rozwiązania w liczbach całkowitych :
( 20 , 15, 25 ) , oraz ( 24 , 7 , 25 ) .
Trójkąt egipski prostokątny to taki , który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych
Stąd można wnioskować że wybór jednostek długości nie wpływa na rezultat końcowy wyniku .
( każdą liczbę można przedstawić w postaci odcinków np. centymetry , metry , kilometry , cale , stopy , itp. . )
Jeśli popełniam w tym rozumowaniu błąd logiczny , to proszę o sprostowanie .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: a4karo »

W trójkącie egipskim nie chodzi o wartość długości boków, bo jak zauważyłeś ta zmienia się z wyborem jednostek, lecz o stosunek ich długości, który ma wynosić `3:4:5`
Długości boków w wybranych jednostkach nie muszą być liczbami naturalnymi. Przecież jeżeli narysuje trójkąt o bokach trzy, cztery i piec centymetrów, to dla Amerykanina to będą jakieś ułamki w calach.

Czy możesz wyjaśnić co to znaczy, że trójkąt ma rozwiązanie w liczbach całkowitych (i do tego jednoznaczne)?
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: dzialka11o »

Jeśli trójkąt egipski powiększymy dwa razy to otrzymamy trójkąt prostokątny o wymiarach 6 , 8 , 10
to kwadrat tych liczb wynosi [ 36 , 64 , 100 ] powiększony dwukrotnie 12 , 16 , 20 ; ( 144 , 256 , 400 )
Ten trójkąt prostokątny leży na średnicy 20 . 8/6 =1,33333... , 16/12 =1,33333.... ,co odpowiada (tan) kąta 53,130101010235...
( tj. 53 st. 8 min. ) ( takie pochylenie mają ściany " Wielkiej Piramidy Cheopsa" )
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Natomiast trójkąt prostokątny o wymiarach : 5 , 13 , 12 ; [ 25 = 169 - 14 4]
powiększymy dwukrotnie to otrzymamy trójkąt ; 26 , 24 , 10, ;
to kwadrat tych liczb stąd ; [ 676- 576 =100 ]
( przecież wartości kątów w tablicach trygonometrycznych podane są bez miana ).
Nie potrafię się jednak odnieść do tych zapytań . I co dalej ?
T.W.

Dodano po 1 dniu 6 godzinach 46 minutach 12 sekundach:
W trójkącie egipskim nie chodzi o wartość długości boków, bo jak zauważyłeś ta zmienia się z wyborem jednostek ,
lecz o stosunek ich długości, który ma wynosić [ 3 : 4 : 5 ] ( *)
-------------------ł-----------------------------------------------------------------------
Jeżeli figurę płaską powiększymy [ n ] razy to wymiary długości ulegają powiększeniu n krotnie
natomiast kąty nie ulegają zmianom , gdzie ( n ) to liczby naturalne 1 ,2,3 , . . . itd.
Jeżeli trójkąt prostokątny egipski powiększymy dwukrotnie , to wymiary tego trójkąta prostokątnego w tym okręgu
będą wynosić odpowiednio : ( 6 , 8 , 10 ) . Bezpośredni stosunek tych boków odpowiednio wynosi ( 6 : 8 : 10 )
Nie jest on zgodny jak wyżej ( *) . Podobnie jeżeli powiększymy trójkąt egipski pięciokrotnie
to wymiary tego trójkąta prostokątnego w tym okręgu odpowiednio wynoszą ( 15 , 20, 25 ) ,
tu również ten stosunek bezpośredni wynosi ( 15 , 20 , 25 ) nie jest on również zgodny z ( * )
Stąd można przyjąć że przykładowo powyższe trójkąty prostokątne są trójkątami podobnymi a nie egipskimi .
T.W.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: a4karo »

To może najpierw poczytaj co to znaczy, że liczby są w określonym stosunku do siebie
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: dzialka11o »

" a4karo " tymi wskazówkami jakimi mnie ukierunkowałeś , dopiero zrozumiałem że każdy trójkąt egipski
powiększony n-krotnie , jest też trójkątem egipskim .
Dziękuję za wyrozumiałość .
Serdecznie pozdrawiam T.W.

Dodano po 14 dniach 4 godzinach 24 minutach 9 sekundach:
OK .
Po tych wskazówkach jakimi mnie Ukierunkowałeś zrozumiałem co tak pięknie w stawach kuma .
Trójkąt egipski to ciekawa problematyka , która mnie zafascynowała .
Bardzo dziękuję za wyrozumiałość .
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Boki trójkąta mają długość

Post autor: Mariusz M »

Kąt o największej mierze leży naprzeciw boku o największej długości
Długość odcinka dwusiecznej można obliczyć stosując dwukrotnie twierdzenie sinusów
a następnie dwukrotnie twierdzenie cosinusów

Z twierdzenia sinusów

\(\displaystyle{ \frac{a-x}{\sin{ \alpha }}=\frac{b}{\sin{\left( 180^{\circ} - \delta\right) }}\\
\frac{a-x}{\sin{ \alpha }}=\frac{b}{\sin{ \delta }}\\
\frac{a-x}{b} = \frac{\sin{ \alpha }}{\sin{ \delta }}\\
\frac{x}{\sin{ \alpha }} = \frac{c}{\sin{ \delta }}\\
\frac{x}{c} = \frac{\sin{ \alpha }}{\sin{ \delta }}\\
}\)


Zatem \(\displaystyle{ \frac{x}{c} = \frac{a-x}{b}}\)
Stąd możemy obliczyć \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{c} = \frac{a-x}{b}\\
bx=c\left( a-x\right) \\
bx = ac - cx\\
bx+cx=ac\\
x\left( b+c\right) =ac\\
x=\frac{ac}{b+c}\\
a-x=a-\frac{ac}{b+c}\\
a-x = a\left( 1-\frac{c}{b+c}\right)\\
a-x = a\frac{b+c-c}{b+c}\\
a-x = \frac{ab}{b+c}\\
}\)


Z twierdzenia cosinusów

\(\displaystyle{
b^2=a^2+c^2-2ac\cos{ \beta }\\
2ac\cos{ \beta }=a^2+c^2-b^2\\
\cos{ \beta } = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
d^2 = x^2+c^2-2xc\cos{ \beta }\\
d^2 = \frac{a^2c^2}{\left( b+c\right)^2 }+c^2 - \frac{2ac^2}{\left( b+c\right) } \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
d^2 = \frac{a^2c^2+c^2\left( b+c\right)^2}{\left( b+c\right)^2 } - \frac{c\left(a^2+c^2-b^2 \right) }{b+c} \\
d^2 = \frac{c^2\left( b^2+2bc+c^2+a^2\right)-c\left( b+c\right)\left(a^2+c^2-b^2 \right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{b^2c^2+2bc^3+c^4+a^2c^2-\left( bc+c^2\right)\left( a^2+c^2-b^2\right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{b^2c^2+2bc^3+c^4+a^2c^2-\left( a^2bc+bc^3-b^3c+a^2c^2+c^4-b^2c^2\right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{b^2c^2+2bc^3+c^4+a^2c^2-a^2bc-bc^3+b^3c-a^2c^2-c^4+b^2c^2}{\left( b+c\right)^2}\\
d^2 = \frac{2b^2c^2+bc^3-a^2bc+b^3c}{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{bc\left( 2bc+c^2-a^2+b^2\right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{bc\left( \left( b^2+2bc+c^2\right)-a^2 \right) }{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{bc\left( \left( b+c\right)^2-a^2 \right)}{\left( b+c\right)^2 }\\
d^2 = \frac{bc\left( b+c+a\right)\left( b+c - a\right) }{\left( b+c\right)^2 }
}\)


Będzie to długość odcinka dwusiecznej kąta przy wierzchołku A
Analogicznie dla pozostałych kątów

Dodano po 13 godzinach 48 minutach 44 sekundach:
Ja odniosłem się do pytania w pierwszym wpisie wątku tyle że podałem wyprowadzenie wzoru na długość odcinka dwusiecznej
dla dowolnego trójkąta o danych długościach boków
Dokonałem tego tylko przy użyciu twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów
ODPOWIEDZ