9 wzorów na pole trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 19 maja 2004, o 16:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z zimowej stolicy ;)
9 wzorów na pole trójkąta
Pole trójkąta równobocznego:
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)
9 wzorów na pole trójkąta
Wszystkie oznaczenia są wspólne:
a,b,c - długości boków trójkąta,
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku a,
\(\displaystyle{ \sin{\beta}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku b,
\(\displaystyle{ \sin{\gamma}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku c,
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt,
R- promień okręgu opisanego na trójkącie,
1)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin{\beta}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin{\gamma}}\)
2)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h}\)
3)
\(\displaystyle{ P=p\cdot r}\), gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)
4)
\(\displaystyle{ P=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}}\)
5)
\(\displaystyle{ P=2\cdot R^2 \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}}\)
6)
Wzór Herona:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}}\)
7)
W trójkącie równobocznym:
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)
8)
W geometrii analitycznej:
\(\displaystyle{ A=(x_a;y_a)}\), \(\displaystyle{ B=(x_b;y_b)}\), \(\displaystyle{ C=(x_c;y_c)}\) - wierzchołki trójkąta
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\)
gdzie \(\displaystyle{ | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\) to wartość bezwzględna wyznacznika wektorów.
W tablicach matematycznych są tylko takie wzory.
To jest 8, a co z dziewiątym ?
a,b,c - długości boków trójkąta,
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku a,
\(\displaystyle{ \sin{\beta}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku b,
\(\displaystyle{ \sin{\gamma}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku c,
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt,
R- promień okręgu opisanego na trójkącie,
1)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin{\beta}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin{\gamma}}\)
2)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h}\)
3)
\(\displaystyle{ P=p\cdot r}\), gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)
4)
\(\displaystyle{ P=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}}\)
5)
\(\displaystyle{ P=2\cdot R^2 \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}}\)
6)
Wzór Herona:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}}\)
7)
W trójkącie równobocznym:
\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)
8)
W geometrii analitycznej:
\(\displaystyle{ A=(x_a;y_a)}\), \(\displaystyle{ B=(x_b;y_b)}\), \(\displaystyle{ C=(x_c;y_c)}\) - wierzchołki trójkąta
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\)
gdzie \(\displaystyle{ | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\) to wartość bezwzględna wyznacznika wektorów.
W tablicach matematycznych są tylko takie wzory.
To jest 8, a co z dziewiątym ?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 4 razy
9 wzorów na pole trójkąta
W swoich notatkach znalazłem jeszcze inny nie wymieniony wzór na pole trójkąta prostokątnego. Nie używam Latexa więc nie przedstawię go w formie wzoru, ale podam potrzebne dane to pewnie ktoś się domyśli i przedstawi w ładnej formie graficznej.
Dane:
Wartość przeciwprostokątnej
wartość wysokości na przeciwprostokątną.
Dane:
Wartość przeciwprostokątnej
wartość wysokości na przeciwprostokątną.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
9 wzorów na pole trójkąta
Z tego wynika, że wysokość trójkąta jest średnią harmoniczną z czego? Co to jest \(\displaystyle{ \rho_b}\) i \(\displaystyle{ \rho_c}\) ?mol_ksiazkowy pisze:11) \(\displaystyle{ S=\frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b+\rho_c}}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
9 wzorów na pole trójkąta
Z bardziej użytkowych :
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{ \sqrt{\left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }- \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } - \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( -\frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) } }}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \frac{a^2}{\ctg B +\ctg C} = \frac{1}{2}h^2_a \left( \ctg B +\ctg C\right)}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{ \sqrt{\left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }- \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } - \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( -\frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) } }}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \frac{a^2}{\ctg B +\ctg C} = \frac{1}{2}h^2_a \left( \ctg B +\ctg C\right)}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
9 wzorów na pole trójkąta
oraz :
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \tg(\omega)}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest kątem Brocarda.
\(\displaystyle{ \ctg(\omega) = \ctg(\alpha) + \ctg(\beta)+ \ctg(\gamma)}\)
zaś z sinusem: \(\displaystyle{ \sin(\omega) = \frac{2S}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 }}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} S= \rho_a(p-a) \\S=\rho_b(p-b) \\S=\rho_c(p-c) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=\sqrt{r \rho_a \rho_b \rho_c }}\)
był też \(\displaystyle{ \sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}}\)
czym są \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3}\) ?
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \tg(\omega)}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest kątem Brocarda.
\(\displaystyle{ \ctg(\omega) = \ctg(\alpha) + \ctg(\beta)+ \ctg(\gamma)}\)
zaś z sinusem: \(\displaystyle{ \sin(\omega) = \frac{2S}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 }}}\)
Mamy teżPromienie okręgów dopisanych
\(\displaystyle{ \begin{cases} S= \rho_a(p-a) \\S=\rho_b(p-b) \\S=\rho_c(p-c) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ S=\sqrt{r \rho_a \rho_b \rho_c }}\)
był też \(\displaystyle{ \sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}}\)
czym są \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3}\) ?
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
9 wzorów na pole trójkąta
10)
\(\displaystyle{ P=\frac{h_a^2}{\sqrt{\left((\frac{h_a}{h_c}+\frac{h_a}{h_b})^2-1\right)\left(1-(\frac{h_a}{h_c}-\frac{h_a}{h_b})^2\right)}}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{h_a^2}{\sqrt{\left((\frac{h_a}{h_c}+\frac{h_a}{h_b})^2-1\right)\left(1-(\frac{h_a}{h_c}-\frac{h_a}{h_b})^2\right)}}}\)
- Santiago A
- Użytkownik
- Posty: 248
- Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zaragoza
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 51 razy
9 wzorów na pole trójkąta
Sprawdź dwie prace:
Baker, M. "A Collection of Formulæ for the Area of a Plane Triangle." Ann. Math. 1, 134-138, 1884,
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.
Znajdziesz tam łącznie ponad sto różnych wzorów pozwalających wyznaczyć pole powierzchni trójkąta płaskiego.
Baker, M. "A Collection of Formulæ for the Area of a Plane Triangle." Ann. Math. 1, 134-138, 1884,
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.
Znajdziesz tam łącznie ponad sto różnych wzorów pozwalających wyznaczyć pole powierzchni trójkąta płaskiego.
-
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
9 wzorów na pole trójkąta
Generalnie można poprzekształcać co nieco:)
\(\displaystyle{ P= \frac{ S_{g} ^3 }{4R}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{3rS _{a} }{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ S_{g} ^3 }{4R}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{3rS _{a} }{2}}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
9 wzorów na pole trójkąta
Conway
\(\displaystyle{ 4S^2 = S_{AB} + S_{BC}+ S_{CA} = \frac{1}{2}(a^2S_a+ b^2S_B+c^2S_C)}\)
\(\displaystyle{ S_A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}\) itd .
\(\displaystyle{ S_{BC} = S_BS_C}\) itd
\(\displaystyle{ 4S^2 = S_{AB} + S_{BC}+ S_{CA} = \frac{1}{2}(a^2S_a+ b^2S_B+c^2S_C)}\)
\(\displaystyle{ S_A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}\) itd .
\(\displaystyle{ S_{BC} = S_BS_C}\) itd
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: 9 wzorów na pole trójkąta
Pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ (x_1, y_1) , (x_2, y_2), (x_3,y_3)}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}|\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]|}\)