Matematyka.pl

Witam, chciałbym żeby ktoś wyjaśnił mi konkretne postępowanie w przypadku takich zadań (jeśli jest to w miarę możliwe). I od razu powiem ze są to bardzo proste zadania.

1. Znaleźć równanie hiperboli o asymptotach y= \(\displaystyle{ \pm \frac{4}{3}}\) x i kierownicach x= \(\displaystyle{ \pm \frac{9}{5}}\)

2. Znaleźć równanie elipsy o mimośrodzie \(\displaystyle{ e= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i odległości 6 między jej ogniskami.

W pierwszym wyliczyłem sobie najpierw c, potem chyba a, na końcu b, tyle tylko, że w przypadku c wyszły mi dwa pierwiastki 0 i \(\displaystyle{ - \frac{10}{7}}\) i tu jedno z moich pytań. Wiem ze c \(\displaystyle{ \neq 0}\) więc zostaje mi tylko drugi ujemny pierwiastek. Jak dalej postępować w takiej sytuacji? Czy moje c nie powinno być również dodatnie?

Pozdrawiam i czekam na odp.

1. Ponieważ kierownice mają równania postaci x=coś, to znaczy, że ogniska leżą na osi OX, więc hiperbola ma równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\)

Równania asymptot \(\displaystyle{ y=\pm \frac{b}{a}}\) , równania kierownic u Ciebie mają postać \(\displaystyle{ x=\pm \frac{a^2}{c}}\), związek między tymi wielkościami to \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\).
Masz w ten sposób 3 równania z 3 niewiadomymi. Najlepiej chyba będzie, jeśli obliczysz c z przedostatniego, z pierwszego wyznaczysz b i wstawisz to wszystko do równania drugiego.

2. Równanie elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\). Mimośród \(\displaystyle{ e=\frac{c}{a}}\), odległość między ogniskami jest równa 2c, a związek między tymi wartościami to \(\displaystyle{ b^2+c^2=a^2}\). Łatwo rozwiązać taki układ równań.

Pozdrawiam.

Ale ja właśnie tak zrobiłem jak napisałaś wszystko się zgadza, banalne zadania.
Tyle tylko, że głównie chodziło mi o wyjaśnienie tego co napisałem pod zadaniami:

-że licząc c wychodzą mi dwa różne pierwiastki, jeden <0 drugi =0 i jak z tym dalej postępować, który wybrać i dlaczego, ponieważ teoretycznie wydaje mi się, że pierwiastki c powinny wyjść takie same tylko z różnymi znakami.


Jeszcze raz pozdrawiam.


PS. czy te a,b,c to odległości i mogę sobie je potraktować wartością bezwzględną? Czy jakieś współrzędne?

Tak, w tych wzorach a, b i c są z założenia odległościami, a więc liczbami dodatnimi. O ile taka hiperbola istnieje, to musi Ci wyjść jakieś dodatnie c (c dla hiperboli nie może być 0).

Ja nie wiem, co tam liczyłeś, że Ci tak wyszło ale u mnie wychodzi tak: z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ b=\frac{4a}{3}}\), a wtedy z trzeciego równania mamy \(\displaystyle{ c=\sqrt{a^2+b^2}=\frac{5a}{3}}\). Wstawiając to do równania drugiego mamy \(\displaystyle{ a=3}\), a stąd dalej \(\displaystyle{ b=4}\) i równanie można pisać. Gotowe

Nie wiem do końca jaki problem masz w 2. W każdym razie - z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ c=3}\), a wtedy z pierwszego mamy \(\displaystyle{ a=3\sqrt{2}}\), a więc z trzeciego \(\displaystyle{ b=\sqrt{a^2-c^2}=3}\).

Pozdrawiam.