Matematyka.pl

Przekątna BD równoległoboku ABCD zawiera się w prostej \(\displaystyle{ l: y=2x-1}\). Wierzchołek B jest równo oddalony od od obu osi układu współrzędnych i obie jego współrzędne są liczbami całkowitymi. Wierzchołek A jest obrazem punktu przecięcia się przekątnych równoległoboku w symetrii względem osi OY, a wierzchołki C i D są jednakowo oddalone od początku układu współrzędnych. Znajdź współrzędne wszystkich wierzchołków tego równoległoboku.

Wiem już, że punkt B musi mieć współrzędne (1,1), ale dalej kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o jakieś zgrabne wyjaśnienie

D leży na danej prostej - zatem w jego współrzędnych masz jedną niewiadomą.
Od niej uzależniasz współrzędne S (przecięcie przekątnych).
Potem uzależniasz od tego A oraz z wektorów C.

Na koniec z warunku odległości C i D od \(\displaystyle{ (0;0)}\) dostajesz niewiadomą.

\(\displaystyle{ B}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=2x-1}\) i prostej \(\displaystyle{ y=x}\) (bo jest równo odległy od obu osi) \(\displaystyle{ \to\ \ \ \red x_b=1\ \ \ y_b=1}\)
\(\displaystyle{ D}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y=2x-1}\), więc ma współrzędne \(\displaystyle{ \blue x_d}\) i \(\displaystyle{ \blue y_d=2x_d-1}\)
w równoległoboku przekątne dzielą się wzajemnie na połowy, więc punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ S}\) leży w środku przekątnej \(\displaystyle{ BD}\), czyli ma współrzędne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_s=\frac{x_b+x_d}{2}\\ y_s=\frac{y_b+y_d}{2} \end{cases}\ \ \ \to\ \ \ \begin{cases} x_s=\frac{1+x_d}{2} \\ y_s=\frac{1+2x_d-1}{2} \end{cases} \ \ \ \to\ \ \ \begin{cases} \blue x_s=\frac{1+x_d}{2} \\ \blue y_s=x_d \end{cases}}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ S}\) względem osi OY, czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x_a=-x_s \\ y_a=y_s\end{cases}\ \ \ \to\ \ \ \begin{cases} \blue x_a=-\frac{1+x_d}{2} \\ \blue y_a=x_d \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AS}\) w odległości od \(\displaystyle{ S}\) równej odległości \(\displaystyle{ A}\) od \(\displaystyle{ S}\), ponieważ \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ AC}\)
stąd \(\displaystyle{ \begin{cases} x_c=2x_s-x_a \\ y_c=y_a\end{cases}\ \ \ \to\ \ \ \begin{cases} x_c=1+x_d -\left( -\frac{1+x_d}{2}\right) \\ y_c=x_d \end{cases}\ \ \ \to\ \ \ \begin{cases} \blue x_c=\frac{3+3x_d}{2} \\ \blue y_c=x_d \end{cases}}\)
wierzchołki \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są jednakowo oddalone od początku układu współrzędnych, więc
\(\displaystyle{ x_c^2+y_c^2=x_d^2+y_d^2\ \ \ \to\ \ \ \left( \frac{3+3x_d}{2}\right)^2+x_d^2 =x_d^2 +\left(2x_d-1 \right)^2\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \to\ \left( \frac{3+3x_d}{2}\right)^2=\left(2x_d-1 \right)^2\ \to\ \begin{cases} \frac{3+3x_d}{2}=2x_d-1 \\lub \\ \frac{3+3x_d}{2}=-(2x_d-1) \end{cases} \ \to\ \begin{cases} \red x_d=5\\\red y_d=9\\\vee \\ \red x_d=-\frac17\\\red y_d=-1\frac27 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_d=5 \\ \vee\\x_d=-\frac17 \end{cases} \ \to\ \begin{cases}\red x_c=9\ \ \wedge\ \ x_a=-3\\ \red y_c=5\ \ \wedge\ \ y_a=5 \\\vee\\ \red x_c=1\frac27\ \ \wedge\ \ x_a=-\frac37 \\\red y_c=-\frac17\ \ \wedge\ \ y_a=-\frac17\end{cases}}\)

Dzięki za wskazówki i rozwiązanie. Rozwiązałem to sam chwilkę przed Tobą i wszystko się zgadza