Dane są wierzchołki czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\) gdzie \(\displaystyle{ A(-3,1,-1) B(6,-2,-5) C(1,-2,-1)}\) Obliczyć jego objętość oraz wysokość opuszczoną z \(\displaystyle{ D}\). Napisać równania:
a) płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : A, B, C \in \mathbb{\pi}}\)
b) prostej \(\displaystyle{ l : (l \perp \pi) \wedge (D \in \mathbb{\pi})}\)
c) prostej \(\displaystyle{ k : A,B \in \mathbb{k}}\)
d) płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_{1} : (\pi_{1} \parallel \pi) \wedge (D \in \mathbb{\pi})}\)
Wyznaczyć równania
-
dzdawid1991
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 15 lut 2011, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ND
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Wyznaczyć równania
Zakładam, że w podpunkcie \(\displaystyle{ b) \, D \in l}\) i w podpunkcie \(\displaystyle{ d) \, D \in \pi_1}\).
Objętość czworościanu ABCD wynosi : \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \left \vert \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD} \right \vert}\), gdzie \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}}\) jest iloczynem mieszanym tych wektorów.
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie A}}\) Do wyznaczenia równania ogólnego płaszczyzny wystarczy znać współrzędne wektora do niej prostopadłego i wsp. punktu, który do płaszczyzny należy.
Wektor : \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}\).
Punkt: np. \(\displaystyle{ A(-3,1,-1)}\).
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie B}}\) Do wyznaczenia równania prostej potrzebne są współrzędne wektora do niej równoległego i punktu, przez który prosta przechodzi. Punkt jest podany \(\displaystyle{ D}\).
Skoro prosta \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), to wektor kierunkowy prostej musi być równoległy do wektora normalnego płaszczyzny. W szczególności można przyjąć, że wektory te są równe.
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie C}}\) Wystarczy przyjąć, że wektor kierunkowy prostej to : \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) i użyć np. punktu \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie D}}\) Skoro płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi_1}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), to ich wektory normalne są również równoległe, w szczególności przyjmujemy, że są równe. Punkt D należy do płaszczyzny.
Objętość czworościanu ABCD wynosi : \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \left \vert \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD} \right \vert}\), gdzie \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}}\) jest iloczynem mieszanym tych wektorów.
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie A}}\) Do wyznaczenia równania ogólnego płaszczyzny wystarczy znać współrzędne wektora do niej prostopadłego i wsp. punktu, który do płaszczyzny należy.
Wektor : \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}\).
Punkt: np. \(\displaystyle{ A(-3,1,-1)}\).
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie B}}\) Do wyznaczenia równania prostej potrzebne są współrzędne wektora do niej równoległego i punktu, przez który prosta przechodzi. Punkt jest podany \(\displaystyle{ D}\).
Skoro prosta \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), to wektor kierunkowy prostej musi być równoległy do wektora normalnego płaszczyzny. W szczególności można przyjąć, że wektory te są równe.
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie C}}\) Wystarczy przyjąć, że wektor kierunkowy prostej to : \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) i użyć np. punktu \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ \textbf{Zadanie D}}\) Skoro płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi_1}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), to ich wektory normalne są również równoległe, w szczególności przyjmujemy, że są równe. Punkt D należy do płaszczyzny.
RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY
\(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) jest punktem płaszczyzny, zaś liczby \(\displaystyle{ A,B,C}\) są współrzędnymi pewnego niezerowego wektora prostopadłego do płaszczyzny.RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_0+ta_1 \\ y=y_0+ta_2 \\ z=z_0 + ta_3\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_0,y_0,z_0}\) to współrzędne punktu, przez który prosta przechodzi, a \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) współrzędne wektora równoległego do prostej , \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\).