Wyznaczanie prostej w przestrzeni

siwy20 · Post autor: **siwy20** » 3 lut 2011, o 18:28

Moje pytanie brzmi. w jaki sposób określa sie prostą w przestrzeni??

mateuszt24 · Post autor: **mateuszt24** » 4 lut 2011, o 13:26

Równaniem parametrycznym;]

Crizz · Post autor: **Crizz** » 6 lut 2011, o 17:46

Jest kilka sposobów. Najbardziej intuicyjnym jest równanie krawędziowe prostej: dana prosta może być traktowana jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn; można ją zatem opisać równaniem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}}\)

Takie równanie jest w oczywisty sposób niewygodne. Innym sposobem jest wspomniane równanie parametryczne lub też kanoniczne (kierunkowe):
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},t\in\mathbb{R}}\)
Pierwsze z podanych równań to równanie kanoniczne (oczywiście o ile \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\), w przeciwnym wypadku nie da się zapisać równania kanonicznego).

Oba te równania przedstawiają prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), równoległą do \(\displaystyle{ [a,b,c]}\).

Równanie krawędziowe łatwo przekształcić na równanie kierunkowe: \(\displaystyle{ [a,b,c]=[A_1,B_1,C_1] \times [A_2,B_2,C_2]}\), trzeba jeszcze wyznaczyć dowolne rozwiązanie układu utworzonego przez równania płaszczyzn, żeby otrzymać \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\).

oll93 · Post autor: **oll93** » 2 lis 2012, o 00:18

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y + 3z + 1 = 0 \\ x + 2y - z + 4 = 0 \end{cases}}\)

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3] \times [1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?

Blaine09 · Post autor: **Blaine09** » 21 mar 2015, o 00:02

Współrzędne dwóch punktów, leżących w przestrzeni 3d.:

\(\displaystyle{ A=(1,3,6)}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\6\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B=(4,6,9)}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}4\\6\\9\end{array}\right]}\)

Obliczam wektor kierunkowy, potrzebny do równania parametrycznego (Część teoretyczna „Crizz"):

\(\displaystyle{ \text{wektor}(AB)=A \times B}\)

\(\displaystyle{ AB=\begin{cases} ABx\\ABy\\ABz \end{cases}}\)

prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=1 \pm ABxt\\y=3 \pm AByt\\z=6 \pm ABzt \end{cases}}\)

Zakładam ,że:

\(\displaystyle{ t}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 mar 2015, o 00:09

Blaine.Ma to coś wspólnego z pytaniem oll93

Blaine09 · Post autor: **Blaine09** » 21 mar 2015, o 00:32

Tak.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 mar 2015, o 00:39

Rozwiązujesz ten przykład, czy podajesz nowy?

Blaine09 · Post autor: **Blaine09** » 21 mar 2015, o 00:54

Chciałem pokazać jak rozwiązuje się dla przypadku Oli, to błąd?

Może się komuś przyda, nie to nie.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 mar 2015, o 00:57

Ogólnie nie, ale ty masz dwa punkty, a ona równanie krawędziowe.

Blaine09 · Post autor: **Blaine09** » 21 mar 2015, o 01:00

Ale z jej punktów tak samo można to zrobić Wystarczy spojrzeć na teorię.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y + 3z + 1 = 0 \\ x + 2y - z + 4 = 0 \end{cases}}\)

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?

\(\displaystyle{ \text{wektor}(ABC)=[A_1 ,B_1 ,C_1 ] \times [A_2 ,B_2 ,C_2 ]}\)

\(\displaystyle{ ABC=\begin{cases} -5\\5\\5 \end{cases}}\)

prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=2 -5t\\y=-1 +5t\\z=3 +5t \end{cases}}\)

Zakładam naturalnie:

gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 mar 2015, o 01:05

Aha. Już kumam. Sorki za zamieszanie

Blaine09 · Post autor: **Blaine09** » 14 kwie 2015, o 00:02

Sorry ...Memory:
Zapraszam do nauki MatLab'a.
To wyżej to bzdura:

A tu wykres:

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 kwie 2015, o 06:07

oll93 pisze:2x - y + 3z + 1 = 0
x + 2y - z + 4 = 0

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?

Ponieważ wektor \(\displaystyle{ [2,-1,3]}\) jest prostopadły do pierwszej płaszczyzny, a \(\displaystyle{ [-5,5,5]}\) jest prostopadły do niego, wiec ten ostatni leży w tej płaszczyżnie. Na tej samej zasadzie leży w drugiej płaszczyżnie, zatem leży w ich przecięciu. Masz zatem wektor, który wyznacza tę prostą. Potrzebujesz jeszcze punktu na prostej. Wstaw do równań płaszczyzny np \(\displaystyle{ x=0}\) i rozwiąż je ze względu na \(\displaystyle{ y,z}\)

BartekLO · Post autor: **BartekLO** » 25 sty 2016, o 17:52

% Darmowe środwisko matematyczne „Freemat".

Kod: Zaznacz cały

% START
% Wyznaczenie prostej parametrycznej w przestrzni 3d:
% Zakładamy ,że:
t=[0:.1:1];

A=[1;3;6];
B=[4;6;9];

% Kropkę, dajemy gdyż tak się liczy.

AB=A.*B;

AB

  4
 18
 54

% Jak łatwo zauważyć, wyświetla nam wartość AB=[4;18;54];

x=1+3*t;
y=3+3*t;
z=6+3*t;
plot3(x,y,z, ' -s' );
grid on;


xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

hold on;
plot3(1,3,6, ' y*' ), grid on;

hold on;
plot3(4,6,9, ' b*' ), grid on;

% ENDE