Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Moje pytanie brzmi. w jaki sposób określa sie prostą w przestrzeni??
- mateuszt24
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 lut 2009, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Jest kilka sposobów. Najbardziej intuicyjnym jest równanie krawędziowe prostej: dana prosta może być traktowana jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn; można ją zatem opisać równaniem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}}\)
Takie równanie jest w oczywisty sposób niewygodne. Innym sposobem jest wspomniane równanie parametryczne lub też kanoniczne (kierunkowe):
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},t\in\mathbb{R}}\)
Pierwsze z podanych równań to równanie kanoniczne (oczywiście o ile \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\), w przeciwnym wypadku nie da się zapisać równania kanonicznego).
Oba te równania przedstawiają prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), równoległą do \(\displaystyle{ [a,b,c]}\).
Równanie krawędziowe łatwo przekształcić na równanie kierunkowe: \(\displaystyle{ [a,b,c]=[A_1,B_1,C_1] \times [A_2,B_2,C_2]}\), trzeba jeszcze wyznaczyć dowolne rozwiązanie układu utworzonego przez równania płaszczyzn, żeby otrzymać \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}}\)
Takie równanie jest w oczywisty sposób niewygodne. Innym sposobem jest wspomniane równanie parametryczne lub też kanoniczne (kierunkowe):
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},t\in\mathbb{R}}\)
Pierwsze z podanych równań to równanie kanoniczne (oczywiście o ile \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\), w przeciwnym wypadku nie da się zapisać równania kanonicznego).
Oba te równania przedstawiają prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), równoległą do \(\displaystyle{ [a,b,c]}\).
Równanie krawędziowe łatwo przekształcić na równanie kierunkowe: \(\displaystyle{ [a,b,c]=[A_1,B_1,C_1] \times [A_2,B_2,C_2]}\), trzeba jeszcze wyznaczyć dowolne rozwiązanie układu utworzonego przez równania płaszczyzn, żeby otrzymać \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\).
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y + 3z + 1 = 0 \\ x + 2y - z + 4 = 0 \end{cases}}\)
mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3] \times [1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?
mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3] \times [1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?
Ostatnio zmieniony 31 lip 2019, o 16:06 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Współrzędne dwóch punktów, leżących w przestrzeni 3d.:
\(\displaystyle{ A=(1,3,6)}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\6\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=(4,6,9)}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}4\\6\\9\end{array}\right]}\)
Obliczam wektor kierunkowy, potrzebny do równania parametrycznego (Część teoretyczna „Crizz"):
\(\displaystyle{ \text{wektor}(AB)=A \times B}\)
\(\displaystyle{ AB=\begin{cases} ABx\\ABy\\ABz \end{cases}}\)
prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=1 \pm ABxt\\y=3 \pm AByt\\z=6 \pm ABzt \end{cases}}\)
Zakładam ,że:
\(\displaystyle{ t}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)
\(\displaystyle{ A=(1,3,6)}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\6\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=(4,6,9)}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}4\\6\\9\end{array}\right]}\)
Obliczam wektor kierunkowy, potrzebny do równania parametrycznego (Część teoretyczna „Crizz"):
\(\displaystyle{ \text{wektor}(AB)=A \times B}\)
\(\displaystyle{ AB=\begin{cases} ABx\\ABy\\ABz \end{cases}}\)
prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=1 \pm ABxt\\y=3 \pm AByt\\z=6 \pm ABzt \end{cases}}\)
Zakładam ,że:
\(\displaystyle{ t}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)
Ostatnio zmieniony 31 lip 2019, o 16:06 przez Afish, łącznie zmieniany 6 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Chciałem pokazać jak rozwiązuje się dla przypadku Oli, to błąd?
Może się komuś przyda, nie to nie.
Może się komuś przyda, nie to nie.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Ale z jej punktów tak samo można to zrobić Wystarczy spojrzeć na teorię.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y + 3z + 1 = 0 \\ x + 2y - z + 4 = 0 \end{cases}}\)
mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?
\(\displaystyle{ \text{wektor}(ABC)=[A_1 ,B_1 ,C_1 ] \times [A_2 ,B_2 ,C_2 ]}\)
\(\displaystyle{ ABC=\begin{cases} -5\\5\\5 \end{cases}}\)
prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=2 -5t\\y=-1 +5t\\z=3 +5t \end{cases}}\)
Zakładam naturalnie:
gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y + 3z + 1 = 0 \\ x + 2y - z + 4 = 0 \end{cases}}\)
mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do \(\displaystyle{ [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]}\)
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?
\(\displaystyle{ \text{wektor}(ABC)=[A_1 ,B_1 ,C_1 ] \times [A_2 ,B_2 ,C_2 ]}\)
\(\displaystyle{ ABC=\begin{cases} -5\\5\\5 \end{cases}}\)
prosta \(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=2 -5t\\y=-1 +5t\\z=3 +5t \end{cases}}\)
Zakładam naturalnie:
gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)
Ostatnio zmieniony 31 lip 2019, o 16:05 przez Afish, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Sorry ...Memory:
Zapraszam do nauki MatLab'a.
To wyżej to bzdura:
A tu wykres:
Zapraszam do nauki MatLab'a.
To wyżej to bzdura:
A tu wykres:
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
Ponieważ wektor \(\displaystyle{ [2,-1,3]}\) jest prostopadły do pierwszej płaszczyzny, a \(\displaystyle{ [-5,5,5]}\) jest prostopadły do niego, wiec ten ostatni leży w tej płaszczyżnie. Na tej samej zasadzie leży w drugiej płaszczyżnie, zatem leży w ich przecięciu. Masz zatem wektor, który wyznacza tę prostą. Potrzebujesz jeszcze punktu na prostej. Wstaw do równań płaszczyzny np \(\displaystyle{ x=0}\) i rozwiąż je ze względu na \(\displaystyle{ y,z}\)oll93 pisze:2x - y + 3z + 1 = 0
x + 2y - z + 4 = 0
mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?
Wyznaczanie prostej w przestrzeni
% Darmowe środwisko matematyczne „Freemat".
Kod: Zaznacz cały
% START
% Wyznaczenie prostej parametrycznej w przestrzni 3d:
% Zakładamy ,że:
t=[0:.1:1];
A=[1;3;6];
B=[4;6;9];
% Kropkę, dajemy gdyż tak się liczy.
AB=A.*B;
AB
4
18
54
% Jak łatwo zauważyć, wyświetla nam wartość AB=[4;18;54];
x=1+3*t;
y=3+3*t;
z=6+3*t;
plot3(x,y,z, ' -s' );
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
hold on;
plot3(1,3,6, ' y*' ), grid on;
hold on;
plot3(4,6,9, ' b*' ), grid on;
% ENDE
Ostatnio zmieniony 6 paź 2018, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.