Wyznacz równanie prostej
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Wyznacz równanie prostej
Wyznacz równanie prostej do której należy punkt \(\displaystyle{ P(-6,15)}\) i takiej, że odległość punktu \(\displaystyle{ Q(4,-5)}\) od tej prostej wynosi \(\displaystyle{ 10}\).
Mam pytanie jak zrobić to zadanie? Z logicznego punktu widzenia powinny wyjść dwie odpowiedzi, czyli dwie proste spełniające warunki zadania, ale jak to w miarę elegancko zrobić? Ja napisałem równanie prostej w postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), podstawiłem do niej punkt \(\displaystyle{ P}\), przekształciłem następnie równanie prostej do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\) i skorzystałem ze wzoru na odległość i wyszło mi \(\displaystyle{ a=- \frac{3}{4}, b=10,5 }\) (dobrze?), a co z drugą prostą? Wychodzi mi na to, że będzie to prosta pionowa \(\displaystyle{ x=-6}\), ale jak to jakoś rachunkowo udowodnić?
W ogóle jeśli można jakoś zrobić to zadanie, żeby elegancko wyszły dwie proste to też proszę o komentarz.
Mam pytanie jak zrobić to zadanie? Z logicznego punktu widzenia powinny wyjść dwie odpowiedzi, czyli dwie proste spełniające warunki zadania, ale jak to w miarę elegancko zrobić? Ja napisałem równanie prostej w postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), podstawiłem do niej punkt \(\displaystyle{ P}\), przekształciłem następnie równanie prostej do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\) i skorzystałem ze wzoru na odległość i wyszło mi \(\displaystyle{ a=- \frac{3}{4}, b=10,5 }\) (dobrze?), a co z drugą prostą? Wychodzi mi na to, że będzie to prosta pionowa \(\displaystyle{ x=-6}\), ale jak to jakoś rachunkowo udowodnić?
W ogóle jeśli można jakoś zrobić to zadanie, żeby elegancko wyszły dwie proste to też proszę o komentarz.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Równanie szukanej prostej to \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\).
Z warunków zadania masz dwa równania:
\(\displaystyle{ -6A+15B+C=0}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{|4A-5B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10.}\)
I liczysz.
JK
Z warunków zadania masz dwa równania:
\(\displaystyle{ -6A+15B+C=0}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{|4A-5B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10.}\)
I liczysz.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Wyznacz \(\displaystyle{ C}\) z pierwszego, wstaw do drugiego i rozwiązuj, zamiast martwić się na zapas...
JK
JK
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Potem \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza (bo \(\displaystyle{ A\ne 0}\)).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Nie no jak \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza? Po podstawieniu, podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu dostaję równanie \(\displaystyle{ 3B^2=4AB}\) i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ B=0}\) i \(\displaystyle{ C=6A}\) i to jest jedno rozwiązanie i drugie \(\displaystyle{ B \neq 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\) i \(\displaystyle{ C=-14A}\) no i chyba trzeba \(\displaystyle{ A=1}\) popodstawiać i wychodzi?
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Normalnie.
I wtedy masz prostą \(\displaystyle{ Ax+\frac{4}{3}Ay-14A=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ A\ne 0}\), więc możesz uprościć dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ A}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
No dobra, ok faktycznie, ale przecież to jest równoważne z podstawieniem pod \(\displaystyle{ A=1}\), o czym pisałem wcześniej? No, ok, a skąd bierzesz to założenie, że \(\displaystyle{ A \neq 0}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
max123321
Może mniej problemów sprawi Ci drugi sposób rozwiązania tego zadania - bez wymagań rozwiązania układu dwóch równań o trzech niewiadomych z
wartością bezwzględną ?
Piszemy równanie pęków prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P= (-6, 15) }\)
\(\displaystyle{ y = m\cdot (x+6) +15 \ \ (1)}\)
Piszemy równanie kanoniczne okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q = (4, -5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = 10 }\)
\(\displaystyle{ ( x-4)^2 + (y+5)^2 = 10^2 \ \ (2) }\)
Zapisujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) w postaci równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ m,}\) żadając, aby prosta była styczną
do tego okręgu, czyli aby wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta }\) tego równania był równy zeru.
Wyznaczamy wartość parametru \(\displaystyle{ m }\) i wstawiamy do równania \(\displaystyle{ (1).}\)
Może mniej problemów sprawi Ci drugi sposób rozwiązania tego zadania - bez wymagań rozwiązania układu dwóch równań o trzech niewiadomych z
wartością bezwzględną ?
Piszemy równanie pęków prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P= (-6, 15) }\)
\(\displaystyle{ y = m\cdot (x+6) +15 \ \ (1)}\)
Piszemy równanie kanoniczne okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q = (4, -5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = 10 }\)
\(\displaystyle{ ( x-4)^2 + (y+5)^2 = 10^2 \ \ (2) }\)
Zapisujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) w postaci równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ m,}\) żadając, aby prosta była styczną
do tego okręgu, czyli aby wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta }\) tego równania był równy zeru.
Wyznaczamy wartość parametru \(\displaystyle{ m }\) i wstawiamy do równania \(\displaystyle{ (1).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
To nie było miłe. A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy