Wyznacz równanie prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

Wyznacz równanie prostej do której należy punkt \(\displaystyle{ P(-6,15)}\) i takiej, że odległość punktu \(\displaystyle{ Q(4,-5)}\) od tej prostej wynosi \(\displaystyle{ 10}\).

Mam pytanie jak zrobić to zadanie? Z logicznego punktu widzenia powinny wyjść dwie odpowiedzi, czyli dwie proste spełniające warunki zadania, ale jak to w miarę elegancko zrobić? Ja napisałem równanie prostej w postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), podstawiłem do niej punkt \(\displaystyle{ P}\), przekształciłem następnie równanie prostej do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\) i skorzystałem ze wzoru na odległość i wyszło mi \(\displaystyle{ a=- \frac{3}{4}, b=10,5 }\) (dobrze?), a co z drugą prostą? Wychodzi mi na to, że będzie to prosta pionowa \(\displaystyle{ x=-6}\), ale jak to jakoś rachunkowo udowodnić?

W ogóle jeśli można jakoś zrobić to zadanie, żeby elegancko wyszły dwie proste to też proszę o komentarz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

Równanie szukanej prostej to \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\).

Z warunków zadania masz dwa równania:

\(\displaystyle{ -6A+15B+C=0}\)

i

\(\displaystyle{ \frac{|4A-5B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10.}\)

I liczysz.

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

No ok, ale to są dwa równania, trzy niewiadome, to jak to rozwiązać?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

Wyznacz \(\displaystyle{ C}\) z pierwszego, wstaw do drugiego i rozwiązuj, zamiast martwić się na zapas...

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

No dobra, faktycznie wychodzi. Potem wystarczy podstawić pod \(\displaystyle{ A=1}\) i wychodzi, zgadza się?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 19:11Potem wystarczy podstawić pod \(\displaystyle{ A=1}\) i wychodzi, zgadza się?
Potem \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza (bo \(\displaystyle{ A\ne 0}\)).

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

Nie no jak \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza? Po podstawieniu, podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu dostaję równanie \(\displaystyle{ 3B^2=4AB}\) i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ B=0}\) i \(\displaystyle{ C=6A}\) i to jest jedno rozwiązanie i drugie \(\displaystyle{ B \neq 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\) i \(\displaystyle{ C=-14A}\) no i chyba trzeba \(\displaystyle{ A=1}\) popodstawiać i wychodzi?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02 Nie no jak \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza?
Normalnie.
max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02 i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\) i \(\displaystyle{ C=-14A}\)
I wtedy masz prostą \(\displaystyle{ Ax+\frac{4}{3}Ay-14A=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ A\ne 0}\), więc możesz uprościć dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ A}\).

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

No dobra, ok faktycznie, ale przecież to jest równoważne z podstawieniem pod \(\displaystyle{ A=1}\), o czym pisałem wcześniej? No, ok, a skąd bierzesz to założenie, że \(\displaystyle{ A \neq 0}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 27 wrz 2022, o 04:56No, ok, a skąd bierzesz to założenie, że \(\displaystyle{ A \neq 0}\)?
max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02drugie \(\displaystyle{ B \neq 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\)
JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: janusz47 »

max123321

Może mniej problemów sprawi Ci drugi sposób rozwiązania tego zadania - bez wymagań rozwiązania układu dwóch równań o trzech niewiadomych z

wartością bezwzględną ?

Piszemy równanie pęków prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P= (-6, 15) }\)

\(\displaystyle{ y = m\cdot (x+6) +15 \ \ (1)}\)

Piszemy równanie kanoniczne okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q = (4, -5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = 10 }\)

\(\displaystyle{ ( x-4)^2 + (y+5)^2 = 10^2 \ \ (2) }\)

Zapisujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) w postaci równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ m,}\) żadając, aby prosta była styczną

do tego okręgu, czyli aby wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta }\) tego równania był równy zeru.

Wyznaczamy wartość parametru \(\displaystyle{ m }\) i wstawiamy do równania \(\displaystyle{ (1).}\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: max123321 »

Janusz dobra..., już J. Kraszewski wytłumaczył mi to zadanie... nie musisz się produkować...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: a4karo »

max123321 pisze: 27 wrz 2022, o 18:45 Janusz dobra..., już J. Kraszewski wytłumaczył mi to zadanie... nie musisz się produkować...
To nie było miłe. A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: piasek101 »

Ale z postaci kierunkowej nie dostaniemy pionowej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo pisze: 27 wrz 2022, o 20:21A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy
Jesteś pewny?

JK
ODPOWIEDZ