Matematyka.pl

Wyprowadź wzór na parametryzację prostej w postaci ogólnej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Wiem, że ta parametryzacja ma postać \(\displaystyle{ x=x_1+Bt,y=y_1-At}\), ale jak do tego doprowadzić mając tylko równanie ogólne prostej i współrzędne punktu przez, który przechodzi?

Parametryczna postać takiej prostej to \(\displaystyle{ {x \choose y} =t\cdot {u \choose v}+ {x_1 \choose y_1} }\), gdzie \(\displaystyle{ {u \choose v} }\) to wektor kierunkowy tej prostej.

JK

No dobra, a skąd to wziąłeś? Da się to jakoś wyprowadzić albo uzasadnić?

Prostą wyznacza jednoznacznie punkt i wektor kierunkowy. Zastanów się w jaki sposób.

JK

Czy chodzi o to, że prosta przechodzi przez ten punkt i jest równoległa do tego wektora kierunkowego?

Tak.

JK

I już? To wszystko co tu trzeba powiedzieć? Czyli jak rozumiem, dzięki tej parametryzacji, którą napisałeś możemy wyprodukować, każdy punkt należący do tej prostej i tylko do niej poprzez dodawanie do tego punktu \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\), wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (u,v)}\) przemnożonego przez jakąś liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ t}\). Intuicyjnie to jest chyba w miarę jasne, bo do punktu dodajemy wektor w ściśle określonym kierunku o różnej długości przez co dostajemy zawsze punkt z tej prostej i tylko z niej. Dobrze mówię?

Przypominam, że w zadaniu chodzi o równanie w postaci `Ax+By+C=0`

Dobrze mówisz, a teraz musisz to zastosować w swoim zadaniu, gdzie jak Ci przypomniał a4karo - masz podaną prostą, której postać kierunkową masz wyznaczyć.

JK

No ok, wektor kierunkowy prostej w postaci ogólnej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), zgodnie z wikipedią to jest \(\displaystyle{ \left[ -B,A\right] }\), zatem ta parametryzacja to według mnie
\(\displaystyle{ x=x_1-Bt}\)
\(\displaystyle{ y=y_1+At}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\RR}\).

Dobrze?

max123321 pisze: ↑18 kwie 2024, o 21:18 No ok, wektor kierunkowy prostej w postaci ogólnej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), zgodnie z wikipedią to jest \(\displaystyle{ \left[ -B,A\right] }\),

Powinieneś to wiedzieć bez zaglądania do Wikipedii: wektor kierunkowy jest prostopadły do wektora normalnego.

max123321 pisze: ↑18 kwie 2024, o 21:18zatem ta parametryzacja to według mnie
\(\displaystyle{ x=x_1-Bt}\)
\(\displaystyle{ y=y_1+At}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\RR}\).

Dobrze?

Tak, to jedna z możliwych parametryzacji.

JK