Matematyka.pl

W rombie \(\displaystyle{ ABCD}\) dane są \(\displaystyle{ A(-3,-1)}\) i punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ M(9,3)}\). Wiadomo, że punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na prostej \(\displaystyle{ 2x-y-25=0}\). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.




Dziękuje za wszelkie podpowiedzi i udzielone wskazówki.

liczysz wektor \(\displaystyle{ \vec{AM}}\) odejmujac wsporzedne M od A

\(\displaystyle{ \vec{AM}=(9-(-3), 3-(-1))0 = (12,4)}\)

skracamy wartosci wektora przez 3 zeby ulatwic liczenie (nie zmienia to wyniku)

\(\displaystyle{ \vec{AM}= (4,1)}\)

majac wektor AM (ten przed podzieleniem [10,4]) wyliczony mozemy latwo obliczyc punkt C przesowajac punkt M o wektor AM

\(\displaystyle{ C= (10 + 9,4 + 3) = (19, 7)}\)

teraz wazna, rzecz ten wektor AM jest wektorem kierunkowym przekatnej rombu (a'), ale jest takze
wektorem prostopadlbym do jego drugiej przekatnej (b'), czyli tej szukanej przez nas

jako ze jest wektorem prostopadlym podstawiamy go aby stworzyc wzor ogolny prostej
ktora bedzie zawierac przekatną b'

\(\displaystyle{ Ax + By + C = 0}\)

postawiamy wartosci \(\displaystyle{ \vec{AM}}\) za A i B

\(\displaystyle{ 4x + y + C = 0}\)

taka prosta jest rownolegla do przekatnej, teraz postawiamy punkt M i wyliczamy
nowy wzor, ktory bedzie wzorem przekatnej

\(\displaystyle{ 4*9 + 3 + C = 0}\)

\(\displaystyle{ 36 + 3 + C = 0}\)

\(\displaystyle{ C = -39}\)

teraz majac juz wzor prostej zawierajacej nasza przekatna b'

\(\displaystyle{ 4x + y - 39 = 0}\)

liczymy poprostu punkt przeciecia dwoch prostych

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y - 25 = 0 \\ 4x + y - 39 = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y = 25 \\ 4x + y = 39 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y = 25 \\ y = 39 - 4x\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2x - (39 - 4x) = 25}\)

\(\displaystyle{ 2x - 39 + 4x = 25}\)

\(\displaystyle{ 6x = 25 + 39}\)

\(\displaystyle{ 6x = 64}\)

\(\displaystyle{ x = 10 \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ y = 39 - 4*(10 \frac{2}{3} )}\)

\(\displaystyle{ y = 39 - 42 \frac{2}{3} )}\)

\(\displaystyle{ y = -3 \frac{2}{3} )}\)

masz teraz wsporzedne punktu

\(\displaystyle{ B = (10 \frac{2}{3}, -3 \frac{2}{3})}\)

teraz liczysz wektor \(\displaystyle{ \vec{MB}}\)

\(\displaystyle{ \vec{MB} = (1\frac{2}{3}, -6 \frac{2}{3})}\)

i liczymy odwrotny wektor 'a'

\(\displaystyle{ \vec{a} = (-1\frac{2}{3}, 6 \frac{2}{3})}\)

i przesowam punkt M o wektor a dodajac ich wpolrzedne

\(\displaystyle{ D = (-1\frac{2}{3} + 9, 6 \frac{2}{3} + 3)}\)

\(\displaystyle{ D = (8\frac{2}{3}, 9 \frac{2}{3})}\)

to chyba tyle