Matematyka.pl

Witam, mam problem z poniższym zadaniem.

a) Oblicz wektory: styczny, dwunormalny i normalny główny dla krzywej
w przestrzeni zadanej przez równania parametryczne \(\displaystyle{ γ : (x = t^2, y = t^4, z = t)}\) w punkcie \(\displaystyle{ t = 1}\).
b) Wyznacz płaszczyznę ściśle styczną w tym
punkcie jako z definicji prostopadlą do wektora dwunormalnego.

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Przekształciłem równanie i wyznaczyłem normalną i styczną (nie wiem czy dobrze)


\(\displaystyle{ \begin{cases} z=t \\y = z^4\\ x =z^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = z^4 - y \\0 = z^2 - x\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^2 - x = z^4 - y}\)

\(\displaystyle{ x - y + z^4 - z^2= 0}\)

a teraz z gradientu i po podstawieniu za \(\displaystyle{ x,y,z = 1}\) bo są równe \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \vec{N} = [1, -1 , 2]}\) wektor normalny (chyba też główny)

\(\displaystyle{ \vec{V} = [3, 1 , -1]}\) wektor styczny

Wydaje mi się że wektor dwunormalny to \(\displaystyle{ \vec{N_2} = [0, 0, 10]}\) (gradient drugiego stopnia)

Bardzo proszę o zweryfikowanie mojej pamięci i toku myślenia.

\(\displaystyle{ P_0=\left( t^2,t^4,t\right) _{t=1}=\left( 1,1,1\right)}\)
Wektor wodzący:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{r(t)}=\left[ x(t),y(t),z(t)\right] =\left[ t^2,t^4,t\right]}\)
Wektor styczny:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{S}= \overrightarrow{ r'(t)}=\left[ x'(t),y'(t),z'(t)\right] =\left[ 2t,4t^3,1\right]\\
\overrightarrow{S(P_0)}= \overrightarrow{S(t=1)} =\left[ 2,4,1\right]}\)
Wektor binormalny:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{B}= \overrightarrow{ r'(t)} \times \overrightarrow{ r''(t)}=\left[ 2t,4t^3,1\right] \times \left[ 2,12t^2,0\right]\\
\overrightarrow{B(P_0)}= \overrightarrow{B(t=1)}=\left[ 2,4,1\right] \times \left[ 2,12,0\right] =\left[ -12,2,16\right]}\)
Wektor normalny główny:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{N}= \left( \overrightarrow{ r'(t)} \times \overrightarrow{ r''(t)}\right) \times \overrightarrow{ r'(t)} =\left( \left[ 2t,4t^3,1\right] \times \left[ 2,12t^2,0\right]\right) \times \left[ 2t,4t^3,1\right] \\
\overrightarrow{N(P_0)}= \overrightarrow{N(t=1)}=\left[ -12,2,16\right] \times \left[ 2,4,1\right] =\left[ -62,44,-52\right]}\)
Niektórzy wykładowcy normują jeszcze powyższe wektory.

Płaszczyzna ściśle styczna jest prostopadła do wektora binormalnego \(\displaystyle{ \left[ -12,2,16\right]}\) i zawiera punkt \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) . Jej równanie:
\(\displaystyle{ -12(x-1)+2(y-1)+16(z-1)=0}\)