Matematyka.pl

W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\displaystyle{ (x,y)}\) punkt \(\displaystyle{ A=(9,12)}\) jest wierzchołkiem trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x }\) zawiera dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ABC}\) tego trójkąta. Okrąg \(\displaystyle{ O}\) o równaniu \(\displaystyle{ (x-8)^2+(y-4)^2=16}\) jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) tego trójkąta z okręgiem \(\displaystyle{ O}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Niech punkt `B` ma współrzędne `(b,2b)` Wyznacz `b` korzystając z faktu, że odcinek `AB` jest styczny do okręgu. Przy okazji wyliczysz współrzędne punktu styczności `AB` z okręgiem. Szukany punkt będzie symetryczny do tegoż względem danej dwusiecznej.

No, ale ja właśnie nie wiem jak wyznaczyć to \(\displaystyle{ b}\).

Prostą ma mieć jeden punkt wspólny z okręgiem.. albo odległość od prostej do środka okręgu ma być równy promieniowi.

Pomyśl trochę...

Punkt \(\displaystyle{ B }\) ma współrzędne:

\(\displaystyle{ B\left(x_{b}, \ \ \frac{1}{2}{x_{b}}\right). }\)

Równanie prostej \(\displaystyle{ \overline{A B} }\) w zależności od \(\displaystyle{ x_{b} }\) (prosta przechodzi przez dwa punky \(\displaystyle{ A, B }\))

\(\displaystyle{ \overline{AB}: \ \ ... }\)

Odległość punktu styczności okręgu z prostą zawierającą bok trójkąta \(\displaystyle{ \overline{AB} }\) jest równa promieniowi okręgu \(\displaystyle{ r =4,}\)

stąd obliczamy:

\(\displaystyle{ x_{b} = ... , \ \ B ( ..., ...)}\)

Współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ (x_{S}, y_{S}) }\) okręgu i prostej \(\displaystyle{ \overline{BC}}\) wyznaczamy z układu równań okręgu i prostej lub odległości punktu \(\displaystyle{ O(8,4) }\) od tej prostej.

a4karo, ale napisz coś więcej bo to mi nic nie mówi...

Podaj mi jakąś konkretną procedurę, bo to co ja próbuję liczyć to dostaję jakieś karkołomne rachunki.

Już dwie osoby podały Ci konkretne procedury, a Ty dalej swoje...

Pokaż rachunki, to zobaczymy, co robisz.

JK

Punkt `B` o współrzędnych `(2b,b)` ( a nie `(b,2b)` jak napisałęm wcześniej) najprościej wyznaczyć z równania \(\displaystyle{ \vec{SA}\circ\vec{AB}=0}\) (`S` to środek okregu).
A potem szukany punkt `N` musi spełniać równanie \(\displaystyle{ \vec{SN}\circ\vec{NB}=0}\)

Mam wrażenie, że gdyby nie to forum, to byś żadnych ćwiczeń nie zaliczył

Dlaczego iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \vec{SA}\circ\vec{AB}=0 ? }\)

Faktycznie, bzdura. O czwartej rano źle się myśli

No, ale to w końcu jak wyznaczyć współrzędne tego wierzchołka \(\displaystyle{ B}\)? Wiem, że będzie on postaci \(\displaystyle{ (x_b, \frac{1}{2}x_b) }\), no ale co dalej? Jak próbuję równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczyć to podstawiam do wzoru \(\displaystyle{ y=ax+b}\) punkt \(\displaystyle{ A}\) i punkt nieznany \(\displaystyle{ B}\). No i dostaję równania \(\displaystyle{ 12=9a+b}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_b=ax_b+b }\) no i nic ładnego z tego nie wychodzi. Poza tym nie wiem co dalej.

max123321 pisze: ↑5 lis 2022, o 20:30Jak próbuję równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczyć to podstawiam do wzoru \(\displaystyle{ y=ax+b}\) punkt \(\displaystyle{ A}\) i punkt nieznany \(\displaystyle{ B}\). No i dostaję równania \(\displaystyle{ 12=9a+b}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_b=ax_b+b }\) no i nic ładnego z tego nie wychodzi.

Esteta się znalazł... Wyznacz z tego układu równań \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i już masz równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) zależne od \(\displaystyle{ x_b.}\) Możesz je zapisać w postaci ogólnej.

max123321 pisze: ↑5 lis 2022, o 20:30 Poza tym nie wiem co dalej.

Przecież np. janusz47 Ci napisał: wyznaczasz odległość środka okręgu od prostej \(\displaystyle{ AB}\) (jest na to wzór), a ponieważ ona jest równa promieniowi, więc przyrównujesz ją do \(\displaystyle{ 4}\) i z tego równania wyznaczasz \(\displaystyle{ x_b.}\)

JK

J Kraszewski, a przeliczyłeś to do końca? Przecież to jest masakryczne. Nie ma jakiegoś prostszego sposobu? Po tych wszystkich rachunkach dostałem równanie \(\displaystyle{ x_b(x_b+840)=0}\), które nie wiem czy jest dobre, bo się mogłem pomylić sto razy. Jeszcze rozwiązanie \(\displaystyle{ x_b=0}\) wydaje się sensowne, ale \(\displaystyle{ x_b=-840}\), to nie wiem. Czy można odrzucić to \(\displaystyle{ x_b=-840}\) z jakiegoś powodu?

Dobrze podstawiasz. Z równania drugiego otrzymujemy

\(\displaystyle{ b = \frac{1}{2} x_{b} -ax_{b}}\)

i równanie pęku prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ B \left(x_{b}, \frac{1}{2} x_{b}\right) }\)

otrzymujemy w postaci: \(\displaystyle{ y = ax + \frac{1}{2}x_{b}-ax_{b} \ \ (1)}\)

Z tego równania wybieramy proste, których odległość \(\displaystyle{ d }\) od punktu \(\displaystyle{ O(8,4) }\) jest równa \(\displaystyle{ 4.}\)

Skomplikowana jest postać ogólna tego pęku \(\displaystyle{ ax - y +\frac{1}{2}x_{b} -ax_{b} =0 }\) i trzeba się trochę natrudzić, aby się nie pomylić i obliczyć wartości \(\displaystyle{ x_{b} }\) ze wzoru na odległość \(\displaystyle{ d = \frac{|Ax_{0} +By_{0}+C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} }\) punktu od prostej.

Dlatego lepszym pomysłem jest oznaczenie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ B( 2b, b)}\) podane przez a4karo.

Wtedy mamy równanie pęku prostych:

\(\displaystyle{ y = a\cdot (x- 2b ) + b = \frac{b-12}{2b-9}(x -2b) + b }\)

Przekształcając je do postaci ogólnej, otrzymujemy kolejno:

\(\displaystyle{ y = \frac{b-12}{2b-9}x - \frac{(b-12)\cdot 2b}{2b -9} +b \ \|\cdot (2b-9) }\)

\(\displaystyle{ (2b-9)y = (b-12)x - (b-12)\cdot 2b +b(2b-9) }\)

\(\displaystyle{ (2b-9)y = (b-12)x -2b^2 +24b +2b^2 -9b }\)

\(\displaystyle{ (2b-9)y = (b-12)x + 15b }\)

\(\displaystyle{ (b-12)x - (2b-9)y +15b = 0 \ \ (2) }\)

Proszę wyznaczyć możliwe wartości \(\displaystyle{ b }\) ze wzoru na odległość środka okręgu \(\displaystyle{ O(8, 4) }\) od \(\displaystyle{ (2).}\)

No ok, ale to co mi wyszło to \(\displaystyle{ B=(0,0)}\) albo \(\displaystyle{ B=(-840,-420)}\), to czy może ktoś stwierdzić czy to dobry wynik?