Matematyka.pl

W trójkąt prostokątny o bokach : \(\displaystyle{ a, b,c}\) wpisano okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r= 1.}\) Z zależności \(\displaystyle{ r = \frac12 (a + b - c )}\) wyliczyć boki tego trójkąta prostokątnego.

Metodą kombinacji uzyskałem trójkąt prostokatny o wymiarach całkowitych \(\displaystyle{ a=3, b=4, c=5.}\)
Jak analitycznie to obliczyć ?
Z poważaniem T.W.

Takich trójkątów masz do chcenia, np \(\displaystyle{ 2+\sqrt 2; 2 + \sqrt 2; 2\sqrt2+2}\).

Skorzystaj z tego, że każdy kąt opisany na średnicy jest prosty i z twierdzenia Pitagorasa.

Ta wskazówka jest błędna gdyż w zadaniu chodzi o okrąg wpisany w trójkąt, a nie na nim opisany.

Trójkątów prostokątnych w których okrąg wpisany ma \(\displaystyle{ r=1}\) także jest nieskończenie wiele.
Dla \(\displaystyle{ 2<a<b<c}\) układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=a+b-c \\ a^2+b^2=c^2 \end{cases} }\)
daje zależność:
\(\displaystyle{
2ab-4a-4b+4=0\\
b= \frac{2a-2}{a-2}\\
b= 2+ \frac{2}{a-2} }\)
co daje trójkąty o bokach \(\displaystyle{ a, 2+ \frac{2}{a-2}, a+ \frac{2}{a-2}.}\)
PS
Wśród nich jest tylko jeden o bokach całkowitych: \(\displaystyle{ 3,4,5.}\)

Dziękuję koleżeńsko za bardzo ładne wyjaśnienia podanych wyników analitycznych które są dla mnie w tym przypadku zrozumiałe.
Interesuje mnie przypadek dla \(\displaystyle{ a = b }\) dla równoramiennego trójkąta prostokatnego o podstawie \(\displaystyle{ c }\) przy wpisanym okręgu \(\displaystyle{ r = 1 .}\)
Po podstawieniu uzyskałem trójkąt prostokątny o podstawie \(\displaystyle{ c= 4,828427125.}\)
Z poważaniem T.W.

Przecież tu było

piasek101 pisze: ↑29 gru 2022, o 20:24 Takich trójkątów masz do chcenia, np \(\displaystyle{ 2+\sqrt 2; 2 + \sqrt 2; 2\sqrt2+2}\).

kerajs pisze: ↑30 gru 2022, o 10:04 Ta wskazówka jest błędna gdyż w zadaniu chodzi o okrąg wpisany w trójkąt, a nie na nim opisany.

Słuszna uwaga, dziękuję! A autora przepraszam, postaram się być dokładniejszy w analizie zadania zanim coś napiszę.

Dziekuję serdecznie za wniesione uwagi ;

kerajs pisze: ↑30 gru 2022, o 10:04 Ta wskazówka jest błędna gdyż w zadaniu chodzi o okrąg wpisany w trójkąt, a nie na nim opisany.

Przekornie ; jeśli na okręgu o promieniu jednostkowym opiszemy trójkąt "prostokątny równoramienny " , czy jest to równie poprawne rozumowanie ??P,S

piasek101 pisze: ↑29 gru 2022, o 20:24 Takich trójkątów masz do chcenia,

Jeśli jest to możliwe to prosiłbym o podanie drugiego przykładu o podobnym układzie dla trójkąta : "prostokątnego równoramiennego " (wg mojej intuicji jest tylko jedno rozwiązanie , a może nie mam racji
i gdzie popełniam błąd .
Z poważaniem T.W.

dzialka11o pisze: ↑7 sty 2023, o 22:34

piasek101 pisze: ↑29 gru 2022, o 20:24 Takich trójkątów masz do chcenia,

Jeśli jest to możliwe to prosiłbym o podanie drugiego przykładu o podobnym układzie dla trójkąta : "prostokątnego równoramiennego " (wg mojej intuicji jest tylko jedno rozwiązanie , a może nie mam racji
i gdzie popełniam błąd .
Z poważaniem T.W.

Podajesz kawałek tego co napisałem.

piasek101 pisze: ↑6 sty 2023, o 17:41 Przecież tu było

piasek101 pisze: ↑29 gru 2022, o 20:24 Takich trójkątów masz do chcenia, np \(\displaystyle{ 2+\sqrt 2; 2 + \sqrt 2; 2\sqrt2+2}\).

Całość (po raz trzeci).
Pierwsza część zdania (cytowana przez Ciebie) - dotyczyła tego, że takich trójkątów, o jakie pytałeś, jest nieskończenie wiele.
Druga część zaczyna się od ,,np" - i tu podałem przykład takiego trójkąta, akurat ten równoramienny (a on jest jeden).

Ostatnia odpowiedz wyjasnia mi problem .
Ale na koniec prawie podobny problem ?
< Prezent Mikołajkowy >
Na okręgu o promieniu jednostkowym opisano
trójkąt równoramienny którego pole S =12 (cmxcm).
Obliczyć boki tego trójkąta . b=b , c ?
Czy jest możliwe podanie prostego wyliczenia tych boków ?
(w tym zadaniu warunkowym powinno być dwa rozwiązania )
Serdeczne pozdrowienia od T.W.

Z równania na promień okręgu wpisanego w trójkąt i wzoru na pole trójkąta równoramiennego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2b+c = 24 \\ c \sqrt{4b^2 - c^2} = 48 \end{cases} }\)

Czy układ równań ma rozwiązanie dla \(\displaystyle{ a \ \ b \in \RR, \ \ a >0, \ \ b >0 ? }\)

Z pierwszego równania możemy wnioskować, że suma boków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 24\, cm.}\) Skoro tak to pytanie: jaki to trójkąt prostokątny, o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ = c,\ ( a+b) +c= 24}\), którego suma boków równa się polu tego trójkąta:
\(\displaystyle{ |p|=|S|\\
( 8 + 6) +10 = 24 .}\)
W tym przypadku okręg wpisany ma promień \(\displaystyle{ r = 2}\).
P.S.
Nie potrafię jednak zrozumieć układu tych dwóch równań ?
Z uszanowaniem T.W.

Z rysunku trójkąta równoramiennego o ramionach \(\displaystyle{ b , b }\) i podstawie \(\displaystyle{ c.}\)

Z równania długości promienia okręgu (koła) wpisanego w trójkąt prostokątny:

\(\displaystyle{ r = \frac{b+b-c}{2}. }\)

Ze wzoru podstawowego na pole trójkąta

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}c \cdot h, }\)

gdzie jego wysokość \(\displaystyle{ h = \sqrt{b^2- \left(\frac{c}{2}\right)^2} }\)

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{4} c \cdot \sqrt{4b^2 -c^2}.}\)

Dziękuję za zwrócenie uwagi.

Ale na koniec prawie podobny problem ?
< Prezent Mikołajkowy >
Metodą kolejnych prób i błędów otrzymałem następujące wyniki; dla \(\displaystyle{ r=1}\)
1) \(\displaystyle{ c/2=5,823,\ b=6,177\ (5,823 + 6,177 = 12 )}\)
2) \(\displaystyle{ c/2 = 1,107,\ b= 10,893\ (1,107 + 10,893 = 12 )}\)
Zadanie jak widać ma dwa rozwiązania ;
Jednak nie wiem jak do tego zabrać się metodą analityczną .
Z uszanowaniem T.W.

Dodano po 4 dniach 8 godzinach 47 minutach 27 sekundach:
Proszę zauważyć że jeżeli wstawimy otrzymane wyniki dla ( c ) i ( b ) do wzoru na pole \(\displaystyle{ S}\) z poprzedniego postu będą minimalnie zawyżone, z uwagi zaokrąglenia wyników do trzeciego miejsca po przecinku.

Na każdym trójkącie równoramiennym można opisać okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Jeśli do wysokosci \(\displaystyle{ h}\) (też z poprzedniego postu) dodamy \(\displaystyle{ k}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ h + k = 2 R}\), stąd \(\displaystyle{ h \cdot k = c/2 \cdot c /2}\), z tej zależnosci wyznaczamy \(\displaystyle{ k.}\)
To trudne zadanie ?
T.W.

Formuła \(\displaystyle{ r = \frac{1}{2} (a + b - c )}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) (podstawa) to przyprostokątne, \(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna była znana chińskiemu matematykowi Liu Hui i pisze o tym w swoim komentarzu z 263 roku na temat jeszcze starszej pracy matematycznej „Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej” która może pochodzić nawet z 1000 roku p.n.e.
\(\displaystyle{ (a + b - c)}\) to średnica okręgu