Symetria środkowa

w00per · Post autor: **w00per** » 3 kwie 2007, o 17:40

Wiadomo, że prosta \(\displaystyle{ y=2x+3}\) jest obrazem prostej \(\displaystyle{ y=2x-3}\) w symetrii względem pewnego punktu A. Podaj zbiór wszystkich takich punktów. Rozwiąż algebraicznie.

franki01 · Post autor: **franki01** » 3 kwie 2007, o 22:03

Mi wyszlo ze wystarczy dodac te dwie funkcje i podzielic przez 2, bo szuka sie ich sredniej...

Czyli:

Kod: Zaznacz cały

(2x + 3 + 2x - 3) : 2 = 2x

Czyli rozwiazaniem beda liczby f(x) = 2x

w00per · Post autor: **w00per** » 4 kwie 2007, o 15:53

To chyba nie do końca o to chodzi ...

Lorek · Post autor: **Lorek** » 4 kwie 2007, o 17:36

Dowolny punkt na prostej (1) \(\displaystyle{ y=2x-3}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (x;2x-3)}\), tak samo dla prostej (2) \(\displaystyle{ y=2x+3}\) mamy \(\displaystyle{ (x;2x+3)}\). Jeżeli dowolny punkt z prostej (1) przekształcimy w punkt z prostej (2) w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ (a;b)}\), to prawdziwe są 2 równania
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{x+x'}{2}=a\\\frac{2x-3+2x'+3}{2}=b\end{cases}}\)
z tego układu \(\displaystyle{ b=2a}\), czyli wszystkie środki są postaci \(\displaystyle{ (a;2a)}\), co jest oczywiście równoważne z tym, że leżą na prostej y=2x.