Matematyka.pl

Znajdź równanie stycznej do okręu o równaniu: \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=5}\)
a) w punkcie \(\displaystyle{ A=(1,-2)}\)
b) równoległej do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x-y=0}\)
c) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B=(0,5)}\)
Czy można zrobić inaczej to zad niż za pomocą wektorów? Właśnie tym innym sposobem chciałabym je zrobić.

Pozdrawiam

da się innym sposobem, prostszym w dodatku - interpretacja geometryczna pochodnej. Podziel sobie tę funkcję na dwie jej jawne postacie: \(\displaystyle{ y=\pm\sqrt{5-x^2}}\) i licz pochodną w danym punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) w zależności od potrzeb - równanie odpowiedniej stycznej w tym punkcie przyjmie postać \(\displaystyle{ y=xf^\prime(x_0)+b}\), gdzie b musi być tak dobrane, żeby spełniony był warunek \(\displaystyle{ f(x_0)=f^\prime(x_0)+b}\). W każdym przypadku zostaje skorzystanie z własności funkcji liniowej. Gdybyś miał z czymś problemy pytaj

Dzięki Chromosom
Mogłabym liczyć pochodną, tylko że nie jest ona już nauczana w LO, a chciałam rozwiązać to zadanie typowo szkolnym sposobem.
Może masz jakiś inny pomysł?

a) \(\displaystyle{ -2 \neq 0}\), to prosta należy do pęku \(\displaystyle{ y+2=m(x-1).}\) Współczynnik kierunkowy m wyznaczamy tak, aby układ \(\displaystyle{ \begin{cases} y+2=m(x-1)\\x ^{2}+y ^{2}=5 \end{cases}}\) miał jedno rozwiązanie.

b) Jak wyżej styczna(e) należą do \(\displaystyle{ y=2x+b}\) Wartość b wyznaczamy tak, aby układ \(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x+b\\x ^{2}+y ^{2}= 5 \end{cases}}\) miał jedno rozwiązanie (chyba będą dwie takie wartości..

c) Podobnie jak poprzednie. Tym razem szukamy prostej z pęku \(\displaystyle{ y-5=m(x-0)}\).

Dzięki Jankos rozpisz proszę dokładniej to zad. Jak wyznacza się równanie pęku prostych?

a) Z pierwszego \(\displaystyle{ y=mx-m-2}\) podstawiam do drugiego i dostaję równanie \(\displaystyle{ (1+m^2)x^2-(2m+4m)x+m^2+4m-1=0}\). Prosta jest styczna, wtedy gdy układ ma dokładnie jedno rozwiazanie, co jest równoważne temu, że ostatnie równanie ma jedno rozwiązanie, a to zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta= ..=4(2m-1)^2=0 \Leftrightarrow m= \frac{1}{2}}\). Styczna ma równanie \(\displaystyle{ y+2= \frac{1}{2}(x-1}\).
b) Z pierwszego \(\displaystyle{ y=2x+b}\) podstawiam do drugiego i dostaję równanie\(\displaystyle{ 5x^2+4bx+b^2-5=0, \ \Delta= 16b^2-20b^2+100=4(b+5)(b-5)=0 \Leftrightarrow b \in \{-5,5\}}\)..
Stycznymi są \(\displaystyle{ y=2x-5, \ y=2x+5}\).
c) Analogicznie. Po podstawieniu mam
\(\displaystyle{ (1+m^2)x^2+10mx+20, \ \Delta=100m^2-80-80m=20(m+2)(m-2)=0 \Leftrightarrow m \in \{-2,2\}.}\)
Stycznymi są \(\displaystyle{ y=-2x+5, \ y=2x+5.}\)
Pęk prostych: