Matematyka.pl

Prosta o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ k}\) zawiera cięciwę \(\displaystyle{ l_k}\) okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\), na której leży punkt \(\displaystyle{ A(1,2).}\)
a) Wyznacz współrzędne środka cięciwy \(\displaystyle{ l_k}\) w zależności od współczynnika \(\displaystyle{ k}\).
b) Wykaż, że każdy środek cięciwy przechodzącej przez punkt A(1,2) leży na pewnym okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}.}\) Wyznacz jego środek.

Równanie prostej to: \(\displaystyle{ y-2=k(x-1)}\) . Przecina ona okrąg niezależnie od wartości \(\displaystyle{ k}\).
Wstawiając \(\displaystyle{ y=k(x-1)+2}\) do równania okręgu dostaje się:
\(\displaystyle{ x^2(k^2+1)+x(-2k^2+4k)+k^2-4k-5=0}\)
Środek cięciwy to punkt \(\displaystyle{ (X,Y)}\) gdzie
\(\displaystyle{ X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{k^2-2k}{k^2+1} \ \ \wedge \ \ Y=\frac{y_1+y_2}{2}=k\frac{x_1+x_2}{2}-k+2=\frac{k^2-2k}{k^2+1}=\frac{-k+2}{k^2+1}}\)

Jeśli prosta zawiera promień okręgu to środkiem cięciwy jest punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), a gdy jest do niego prostopadła to punkt \(\displaystyle{ (1,2)}\). Możliwe, że środek sugerowanego okręgu to \(\displaystyle{ (\frac12,1)}\).
Wystarczy policzyć
\(\displaystyle{ (X-\frac12)^2+(Y-1)^2=...}\)