Rzut wektora na prostą
Rzut wektora na prostą
Dana jest prosta o równaniu: \(\displaystyle{ x − 4y = 0}\). Wyznacz wektor \(\displaystyle{ \vec{c}_1}\) będący rzutem ortogonalnym wektora \(\displaystyle{ \vec{c}}\) na prostą \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ c= (8, 2)}\)
\(\displaystyle{ c= (8, 2)}\)
Ostatnio zmieniony 10 maja 2022, o 20:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rzut wektora na prostą
żeby użyć wzoru w załączniku (a zakładam że o to chodzi w tym zadaniu) to potrzebuje współrzędnych drugiego wektora a nie wiem jak je wydobyć z równania prostej
- Załączniki
-
- 3123123123.png (49.87 KiB) Przejrzano 625 razy
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rzut wektora na prostą
A wiesz, co znaczą znaczki w tym wzorze? Co to jest \(\displaystyle{ \vec {x}}\) i \(\displaystyle{ \vec {v}}\) ?
JK
JK
Re: Rzut wektora na prostą
x jest wektorem rzutującym a v wektorem na który jest rzucany i wszystkie mnożenia są mnożeniami skalarymi
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rzut wektora na prostą
Raczej "rzutowanym".
Jaki jest związek wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) z dana prostą?
JK
Re: Rzut wektora na prostą
wektor v nie ma związku z tą prostą ale w jego miejsce muszę podstawić wektor który musze jakoś "wydobyć " z prostej f a pod wektor x z wzoru podstawie wektor c
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rzut wektora na prostą
No to przeczysz sam sobie. Jak nie ma związku z prostą, to jak chcesz go z tej prostej "wydobyć"?
Oczywiście, że ten wektor ma bardzo istotny związek z tą prostą, który jest dość oczywisty - pod warunkiem, że rozumiemy, co robimy (a nie sprowadzamy zadania do mechanicznej aplikacji jakiegoś wzoru).
Zrobiłeś może rysunek?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rzut wektora na prostą
Popatrzmy na wzór rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{x} }\) na prostą \(\displaystyle{ L }\)
\(\displaystyle{ P_{L} = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \cdot \vec{v} \ \ (1) }\)
Litera \(\displaystyle{ P }\) pochodzi od angielskiego słowa: \(\displaystyle{ "Projection" \ \ - rzut }\)
W liczniku wzoru \(\displaystyle{ (1) }\) występuje iloczyn skalarny wektora rzutowanego \(\displaystyle{ \vec{x} }\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{v} }\) prostej \(\displaystyle{ L .}\)
W mianowniku- iloczyn skalarny wektora przez siebie \(\displaystyle{ \vec{v}\cdot \vec{v} = \parallel \vec{v}^2\parallel = \parallel \vec{v}\parallel \cdot \parallel\vec{v}\parallel \ (2) }\)
Jeśli podstawimy wzór \(\displaystyle{ (2) }\) do wzoru \(\displaystyle{ (1) }\), to możemy napisać, że
\(\displaystyle{ P_{L} = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel \cdot \parallel\vec{v}\parallel} \cdot \vec{v} = \left( \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel} \right) \cdot \frac{\vec{v}}{\parallel \vec{v}\parallel} = k\cdot \frac{\vec{v}}{\parallel v \parallel} }\)
gdzie
współczynnik \(\displaystyle{ k = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel} = \frac{\parallel \vec{x}\parallel \cdot \parallel \vec{v} \parallel \cdot \cos(\theta)}{\parallel \vec{v} \parallel} = \parallel \vec{x}\parallel \cdot \cos(\theta) jest }\) długością współrzędnej \(\displaystyle{ \vec{x}_{\vec{v}} \ }\) rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{x} }\) na wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \vec{v}.}\)
wektor \(\displaystyle{ \frac{\vec{v}}{\parallel v \parallel} }\) jest wektorem jednostkowym wektora kierunkowego prostej, na którą rzutujemy wektor \(\displaystyle{ \vec{x},}\)
Po tej interpretacji geometrycznej rzutu wektora na wektor kierunkowy prostej przejdźmy do zadania.
Wybieramy na prostej \(\displaystyle{ L: x - 4y =0 }\) dowolny punkt na przykład \(\displaystyle{ (4, 1) }\)
Współrzędne wektora kierunkowego prostej możemy określić względem początku układu współrzędnych \(\displaystyle{ O= (0,0). \ \ \vec{v}= [ 4-0, 1-0] = [4,1] }\)
Długość tego wektora jest więc równa \(\displaystyle{ \parallel \vec{v}\parallel = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}. }\)
Współrzędne jednostkowego wektora kierunkowego prostej wynoszą \(\displaystyle{ \frac{4}{\sqrt{17}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{17}} \ \ (3) }\)
Wartość współczynnika \(\displaystyle{ k }\)
\(\displaystyle{ k = \frac{[8, 4]\cdot [4, 1]}{\sqrt{17}} = \frac{8\cdot 4 + 2\cdot 1}{\sqrt{17}} =\frac{34}{\sqrt{17}} (4).}\)
Z \(\displaystyle{ (4), (3) , (1) }\) otrzymujemy współrzędne rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{c} }\) na prostą \(\displaystyle{ f }\)
\(\displaystyle{ \vec{c}_{1} = P_{f}(\vec{c}) = P_{x-4y =0}([8,2]) = \frac{34}{\sqrt{17}}\cdot \left[ \frac{4}{\sqrt{17}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{17}} \right] = \left[ \frac{34\cdot 4}{17}, \ \ \frac{34\cdot 1}{17} \right] = [ 8, \ \ 2] .}\)
Wyniku tego mogliśmy spodziewać się od razu, jeśli zauważymy, że wektor rzutowany \(\displaystyle{ \vec{c} = [8, 2] }\) jest też wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ L: x - 4y = 0. }\)
\(\displaystyle{ P_{L} = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \cdot \vec{v} \ \ (1) }\)
Litera \(\displaystyle{ P }\) pochodzi od angielskiego słowa: \(\displaystyle{ "Projection" \ \ - rzut }\)
W liczniku wzoru \(\displaystyle{ (1) }\) występuje iloczyn skalarny wektora rzutowanego \(\displaystyle{ \vec{x} }\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{v} }\) prostej \(\displaystyle{ L .}\)
W mianowniku- iloczyn skalarny wektora przez siebie \(\displaystyle{ \vec{v}\cdot \vec{v} = \parallel \vec{v}^2\parallel = \parallel \vec{v}\parallel \cdot \parallel\vec{v}\parallel \ (2) }\)
Jeśli podstawimy wzór \(\displaystyle{ (2) }\) do wzoru \(\displaystyle{ (1) }\), to możemy napisać, że
\(\displaystyle{ P_{L} = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel \cdot \parallel\vec{v}\parallel} \cdot \vec{v} = \left( \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel} \right) \cdot \frac{\vec{v}}{\parallel \vec{v}\parallel} = k\cdot \frac{\vec{v}}{\parallel v \parallel} }\)
gdzie
współczynnik \(\displaystyle{ k = \frac{\vec{x}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{v} \parallel} = \frac{\parallel \vec{x}\parallel \cdot \parallel \vec{v} \parallel \cdot \cos(\theta)}{\parallel \vec{v} \parallel} = \parallel \vec{x}\parallel \cdot \cos(\theta) jest }\) długością współrzędnej \(\displaystyle{ \vec{x}_{\vec{v}} \ }\) rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{x} }\) na wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \vec{v}.}\)
wektor \(\displaystyle{ \frac{\vec{v}}{\parallel v \parallel} }\) jest wektorem jednostkowym wektora kierunkowego prostej, na którą rzutujemy wektor \(\displaystyle{ \vec{x},}\)
Po tej interpretacji geometrycznej rzutu wektora na wektor kierunkowy prostej przejdźmy do zadania.
Wybieramy na prostej \(\displaystyle{ L: x - 4y =0 }\) dowolny punkt na przykład \(\displaystyle{ (4, 1) }\)
Współrzędne wektora kierunkowego prostej możemy określić względem początku układu współrzędnych \(\displaystyle{ O= (0,0). \ \ \vec{v}= [ 4-0, 1-0] = [4,1] }\)
Długość tego wektora jest więc równa \(\displaystyle{ \parallel \vec{v}\parallel = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}. }\)
Współrzędne jednostkowego wektora kierunkowego prostej wynoszą \(\displaystyle{ \frac{4}{\sqrt{17}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{17}} \ \ (3) }\)
Wartość współczynnika \(\displaystyle{ k }\)
\(\displaystyle{ k = \frac{[8, 4]\cdot [4, 1]}{\sqrt{17}} = \frac{8\cdot 4 + 2\cdot 1}{\sqrt{17}} =\frac{34}{\sqrt{17}} (4).}\)
Z \(\displaystyle{ (4), (3) , (1) }\) otrzymujemy współrzędne rzutu wektora \(\displaystyle{ \vec{c} }\) na prostą \(\displaystyle{ f }\)
\(\displaystyle{ \vec{c}_{1} = P_{f}(\vec{c}) = P_{x-4y =0}([8,2]) = \frac{34}{\sqrt{17}}\cdot \left[ \frac{4}{\sqrt{17}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{17}} \right] = \left[ \frac{34\cdot 4}{17}, \ \ \frac{34\cdot 1}{17} \right] = [ 8, \ \ 2] .}\)
Wyniku tego mogliśmy spodziewać się od razu, jeśli zauważymy, że wektor rzutowany \(\displaystyle{ \vec{c} = [8, 2] }\) jest też wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ L: x - 4y = 0. }\)