Napisać równanie stycznej do paraboli:
\(\displaystyle{ (y-y_0)^2=2p(x-x_0)}\)
w punkcie \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\)
równanie stycznej
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
równanie stycznej
Rozważmy najpierw parabolę \(\displaystyle{ y^{2}=2px}\) i wyznaczmy styczną do krzywej w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\).
Rozważając funkcję odwzorowującą wartości y na wartości x, której wykres przedstawia ta parabola, i licząc jej pochodną, otrzymujemy wzór na tangens nachylenia stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) do osi OY (rozważamy funkcję \(\displaystyle{ f(y)=\frac{y^{2}}{2p}}\), jej pochodna to \(\displaystyle{ f'(y)= \frac{y}{p}}\), więc styczna do wykresu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) jest nachylona do osi OY - bo rozważamy funkcję \(\displaystyle{ y x}\) - pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{y_{a}}{p}}\)).
Skoro wyznaczyliśmy tangens nachylenia stycznej do osi OY, to tangens nachylenia do osi OX wynosi \(\displaystyle{ tg(90^{o}-\alpha)=ctg\alpha= \frac{p}{y_{a}}}\). Podstawiamy to do wzoru: \(\displaystyle{ y-y_{a}=tg(90^{o}-\alpha)(x-x_{a})}\) i otrzymujemy ostatecznie, że równanie szukanej stycznej ma postać \(\displaystyle{ (y-y_{a})= \frac{p}{y_{a}} (x-x_{a})}\).
Teraz rozważmy translację o wektor \(\displaystyle{ [x_{0},y_{0}]}\). Obrazem danej paraboli w tej translacji jest parabola \(\displaystyle{ (y-y_{0})^{2}=2p(x-x_{0})}\). Obrazem dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest za to punkt \(\displaystyle{ x'=x+x_{0},y'=y+y_{0}}\).
Niech punkt \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) będzie tak dobrany, by jego obrazem był punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\). Wówczas \(\displaystyle{ x_{1}=x_{a}+x_{0},y_{1}=y_{a}+y_{0}}\). Styczna do pierwotnej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) przejdzie na styczną do nowej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\). Nowa styczna ma ten sam współczynnik kierunkowy, ale musi przejść przez punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\), zatem jej równanie ma postać \(\displaystyle{ y-y_{1}= \frac{p}{y_{a}}(x-x_{1})}\). Uwzględniając to, że \(\displaystyle{ y_{a}=y_{1}-y_{0}}\), otrzymujemy ostatecznie, że równanie szukanej prostej to \(\displaystyle{ (y-y_{1})(y_{1}-y_{0})=p(x-x_{1})}\).
Rozważając funkcję odwzorowującą wartości y na wartości x, której wykres przedstawia ta parabola, i licząc jej pochodną, otrzymujemy wzór na tangens nachylenia stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) do osi OY (rozważamy funkcję \(\displaystyle{ f(y)=\frac{y^{2}}{2p}}\), jej pochodna to \(\displaystyle{ f'(y)= \frac{y}{p}}\), więc styczna do wykresu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) jest nachylona do osi OY - bo rozważamy funkcję \(\displaystyle{ y x}\) - pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{y_{a}}{p}}\)).
Skoro wyznaczyliśmy tangens nachylenia stycznej do osi OY, to tangens nachylenia do osi OX wynosi \(\displaystyle{ tg(90^{o}-\alpha)=ctg\alpha= \frac{p}{y_{a}}}\). Podstawiamy to do wzoru: \(\displaystyle{ y-y_{a}=tg(90^{o}-\alpha)(x-x_{a})}\) i otrzymujemy ostatecznie, że równanie szukanej stycznej ma postać \(\displaystyle{ (y-y_{a})= \frac{p}{y_{a}} (x-x_{a})}\).
Teraz rozważmy translację o wektor \(\displaystyle{ [x_{0},y_{0}]}\). Obrazem danej paraboli w tej translacji jest parabola \(\displaystyle{ (y-y_{0})^{2}=2p(x-x_{0})}\). Obrazem dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest za to punkt \(\displaystyle{ x'=x+x_{0},y'=y+y_{0}}\).
Niech punkt \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) będzie tak dobrany, by jego obrazem był punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\). Wówczas \(\displaystyle{ x_{1}=x_{a}+x_{0},y_{1}=y_{a}+y_{0}}\). Styczna do pierwotnej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ (x_{a},y_{a})}\) przejdzie na styczną do nowej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\). Nowa styczna ma ten sam współczynnik kierunkowy, ale musi przejść przez punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\), zatem jej równanie ma postać \(\displaystyle{ y-y_{1}= \frac{p}{y_{a}}(x-x_{1})}\). Uwzględniając to, że \(\displaystyle{ y_{a}=y_{1}-y_{0}}\), otrzymujemy ostatecznie, że równanie szukanej prostej to \(\displaystyle{ (y-y_{1})(y_{1}-y_{0})=p(x-x_{1})}\).