równanie płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
równanie płaszczyzny
Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
d) dwie proste równoległe \(\displaystyle{ l_1: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i \(\displaystyle{ l_2: \frac{x-3}{2}=y=\frac{z}{3}}\)
e) prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ x=y= \frac{z}{3}}\)
Proszę o jakiś sposób, jak rozwiązać te podpunkty, o ile pierwszy jest w miarę jasny, o tyle sformułowanie drugiego jest kompletnie niezrozumiałe..
d) dwie proste równoległe \(\displaystyle{ l_1: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i \(\displaystyle{ l_2: \frac{x-3}{2}=y=\frac{z}{3}}\)
e) prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ x=y= \frac{z}{3}}\)
Proszę o jakiś sposób, jak rozwiązać te podpunkty, o ile pierwszy jest w miarę jasny, o tyle sformułowanie drugiego jest kompletnie niezrozumiałe..
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
d: a potrafisz napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty? To sobie wybierz dwa na jednej prostej, trzeci na drugiej
e co wiesz o wektorze normalnym szukanej płaszczyzny?
e co wiesz o wektorze normalnym szukanej płaszczyzny?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
d: potrafię, mam problem z wybraniem tych punktów, moje to \(\displaystyle{ A=(2,2,1),B=(4,3,4),C=(3,0,0)}\), co oczywiście po wyliczeniu iloczynu skalarnego i podstawieniu do równania nie zgadza się z odpowiedziami...
e: wektor normalny to wektor prostopadły do płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
A jakie iloczyny skalarne liczysz?
Jak nie pokażesz obliczeń, to trudno będzie skorygować to, co robisz.
e: to nie jest duże odkrycie. to prawie definicja wektora normalnego. Chodzi o to, żebyś pomyślał jak leży on w stosunku do obu prostych (a raczej w stosunku do ich wektorów kierunkowych)
Jak nie pokażesz obliczeń, to trudno będzie skorygować to, co robisz.
e: to nie jest duże odkrycie. to prawie definicja wektora normalnego. Chodzi o to, żebyś pomyślał jak leży on w stosunku do obu prostych (a raczej w stosunku do ich wektorów kierunkowych)
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
d: z moich punktów wyznaczam wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1P_2}=(2,1,3) \\\overrightarrow{P_2P_3}=(-1,-3,-4)}\) następnie ich iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \overrightarrow{v}=(5,-5,-5)}\) i jest to wektor normalny szukanej płaszczyzny, podstawiam razem z punktem \(\displaystyle{ P_1=(2,2,1)}\) do wzoru ogólnego i wychodzi mi \(\displaystyle{ x-y-z-1=0}\), co nie zgadza się z odpowiedziąa4karo pisze: ↑22 kwie 2020, o 12:43 A jakie iloczyny skalarne liczysz?
Jak nie pokażesz obliczeń, to trudno będzie skorygować to, co robisz.
e: to nie jest duże odkrycie. to prawie definicja wektora normalnego. Chodzi o to, żebyś pomyślał jak leży on w stosunku do obu prostych (a raczej w stosunku do ich wektorów kierunkowych)
e: nie mam pojęcia, ja sobie nawet nie umiem tego wyobrazić..
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
Od kiedy iloczyn skalarny jest wektorem?
Czym są punkty `P_i;?
Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
E. Usiądź przy stole i stole wyobraź sobie, że prosta leży na nim. Gdzie jest wektor kierunkowy tej prostej.
Gdzie jest wektor normalny płaszczyzny stołu?
Gdzie jest ta druga prosta? Co powiesz o jej wektorze kierunkowym i wektorze normalnym do stołu?
Czym są punkty `P_i;?
Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
E. Usiądź przy stole i stole wyobraź sobie, że prosta leży na nim. Gdzie jest wektor kierunkowy tej prostej.
Gdzie jest wektor normalny płaszczyzny stołu?
Gdzie jest ta druga prosta? Co powiesz o jej wektorze kierunkowym i wektorze normalnym do stołu?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
pomyłka, chodziło mi o iloczyn wektorowya4karo pisze: ↑22 kwie 2020, o 13:31 Od kiedy iloczyn skalarny jest wektorem?
Czym są punkty `P_i;?
Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
E. Usiądź przy stole i stole wyobraź sobie, że prosta leży na nim. Gdzie jest wektor kierunkowy tej prostej.
Gdzie jest wektor normalny płaszczyzny stołu?
Gdzie jest ta druga prosta? Co powiesz o jej wektorze kierunkowym i wektorze normalnym do stołu?
te punkty, to trzy punkty należące do prostej, które miałam sobie wybrać, ale chyba jednak nie wiem jak to zrobić
e: wektor kierunkowy prostej jest na stole, a wektor normalny stołu przecina prostą prostopadle, czyli te dwa wektory są do siebie prostopadłe?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
To po co mnożysz byty. Przecież już je nazwałeś. Trzymaj się tych oznaczeń. pokaż pełne obliczenia
e: tak. A co powiesz o tej drugiej prostej i jej wektorze kierunkowym?
e: tak. A co powiesz o tej drugiej prostej i jej wektorze kierunkowym?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
no to są pełne obliczenia od początku do końca co zrobiłam..
wektor kierunkowy drugiej prostej jest równoległy do tamtych dwóch? do ich iloczynu wektorowego?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
nie wiem, zadajesz mi pytania a ja coraz mniej to widzę w głowie...
zauważyłam błąd, poprawiłam i równanie z podpunktu d) wyszło już dobrze, możesz teraz rozpisać mi to e) w zrozumiały (najlepiej mniej matematyczny ) sposób?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
SOrry, z e) to chyba trochę pomieszałem.
Wektor kierunkowy pierwszej prostej ma leżeć w szukanej płaszczyżnie, a zatem ma być prostopadły do jej wektora normalnego.
Z drugiej strony płaszczyzna ma być równoległa do drugiej prostej, a zatem jej wektor normalny ma być prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej.
No to masz dwa wektory, do których wektor normalny płaszczyzny ma być prostopadły. To wystarczy do jego wyznaczenia
Wektor kierunkowy pierwszej prostej ma leżeć w szukanej płaszczyżnie, a zatem ma być prostopadły do jej wektora normalnego.
Z drugiej strony płaszczyzna ma być równoległa do drugiej prostej, a zatem jej wektor normalny ma być prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej.
No to masz dwa wektory, do których wektor normalny płaszczyzny ma być prostopadły. To wystarczy do jego wyznaczenia
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: równanie płaszczyzny
Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[2,1,3]}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ k: x=y= \frac{z}{3}\iff k:\begin{cases} x=0+1t \\ y=0+1t\\z=0+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
stąd współrzędne wektora rozpinającego prostą \(\displaystyle{ k}\)...
!) Wektor normalny do szukanej płaszczyzny musi być prostopadły do każdego z powyższych wektorów rozpinających proste, zatem wystarczy pomnożyć je wektorowo...
!!) Do płaszczyzny należy np. punkt\(\displaystyle{ (0,1,-2)}\) - co wystarcza do wyznaczenia współczynnika \(\displaystyle{ D}\) w równaniu płaszczyzny
Pozdrawiam
[edited] poprawa bad-click
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: równanie płaszczyzny
Wszystko jasne, dziękuję pięknie! <3JHN pisze: ↑22 kwie 2020, o 15:30Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[2,1,3]}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ k: x=y= \frac{z}{3}\iff k:\begin{cases} x=0+1t \\ y=0+1t\\z=0+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
stąd współrzędne wektora rozpinającego prostą \(\displaystyle{ k}\)...
!) Wektor normalny do szukanej płaszczyzny musi być prostopadły do każdego z powyższych wektorów rozpinających proste, zatem wystarczy pomnożyć je wektorowo...
!!) Do płaszczyzny należy np. punkt\(\displaystyle{ (0,1,-2)}\) - co wystarcza do wyznaczenia współczynnika \(\displaystyle{ D}\) w równaniu płaszczyzny
Pozdrawiam
[edited] poprawa bad-click
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: równanie płaszczyzny
Pokazałeś ciekawy sposób wyliczenia kolorowych współczynnikówJHN pisze: ↑22 kwie 2020, o 15:30
Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{\red2}=\frac{y-1}{\blue1}= \frac{z+2}{\green3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[\red2,\blue1,\green3]}\)