Matematyka.pl

Wyznaczyć równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A(2,-1,3) , B(3,1,2)}\) oraz równoległej do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=[-3,1,4] }\) Sprawdź, czy płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\) jest równoległa do prostej
\(\displaystyle{
l: \frac{x-1}{9} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{7}
}\)

Bez podania punktów będzie ciężko...

JK

już poprawione)
Czy można całkowicie rozwiązać to zadanie, ponieważ nie mam pojęcia, jak to rozwiązać

Jordan1234123 pisze: ↑15 sty 2023, o 13:57 Wyznaczyć równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A(2,-1,3) , B(3,1,2)}\) oraz równoległej do wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=[-3,1,4] }\) Sprawdź, czy płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\) jest równoległa do prostej
\(\displaystyle{
l: \frac{x-1}{9} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{7}
}\)

Z góry dziękuję

Wyznacz trzeci punkt na płaszczyźnie korzystając z danego punktu i równoległego wektora

Albo wektor prostopadły korzystając z tegoż wektora i dwóch punktów na płaszczyźnie

Metoda pierwsza (iloczyn wektorowy)

Tworzymy z podanych dwóch punktów \(\displaystyle{ A, B }\) wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = [ 3-2, 1 -(-1), 2-3 ] = [ 1, 2, -1].}\)

Znajdujemy współrzędne wektora prostopadłego \(\displaystyle{ \vec{n} }\) do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\)

\(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{a} = \left|\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 4 \end{matrix} \right| = \ \ ...
= a \cdot \vec{i} + b \cdot \vec{j} + c \cdot \vec{k}.}\)

Wybieramy jeden z punktów na przykład \(\displaystyle{ A, }\) przez który ma przechodzić płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\), znajdując jej równanie

\(\displaystyle{ \pi : \ \ a \cdot ( x - x_{A}) + b \cdot (y- y_{A}) + c\cdot (z -z_{A}) = 0 }\)

Metoda druga (iloczyn mieszany)

Wybieramy dowolny punkt na szukanej płaszczyźnie \(\displaystyle{ P(x,y, z). }\)

Tworzymy wektor \(\displaystyle{ \vec{AP} = [x-2, y+1, z-3 ]. }\)

Wektory \(\displaystyle{ \vec{AP}, \ \ \vec{AB}, \ \ \vec{a} }\) leżą w jednej płaszczyźnie, mówiąc bardziej naukowo są komplanarne albo współpłaszczyznowe, więc ich iloczyn mieszany jest równy zeru:

\(\displaystyle{ (\vec{AP} \times \vec{AB})\cdot \vec{a} = \left| \begin{matrix} x-2 & y+1 & z -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 4 \end{matrix} \right| = 0 }\)

Proszę rozwinąć ten wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza, znajdując równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi.}\)

Z postaci iloczynu mieszanego lub równania ogólnego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) możemy znależć jej równanie parametryczne, wprowadzając

dwa parametry np. \(\displaystyle{ s }\) i \(\displaystyle{ t. }\)

Na koniec sprawdzamy czy prosta \(\displaystyle{ l }\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\), co to oznacza?

Wektory: kierunkowy prostej i normalny płaszczyzny są \(\displaystyle{ \ \ ... \ \ }\) czyli ich iloczyn skalarny jest równy \(\displaystyle{ \ \ ... \ \ }\)