Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: max123321 »

Punkty \(\displaystyle{ A(-5,-4), B(3,-2)}\) są wierzchołkami kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\).

Mam pytanie, jak to można najprościej zrobić? Widzę, tylko karkołomne metody z masą ciężkiego liczenia. Może mi ktoś powiedzieć jak to można prosto zrobić? Tylko chciałbym, aby to rozwiązanie było na poziomie szkoły średniej, a nie studiów.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: JHN »

Ja bym wykorzystał
Fakt: Wektory \([a,b]\) i \([b,-a]\) oraz \([a,b]\) i \([-b,a]\) są parami prostopadłe (dla \(a^2+b^2>0\)) i równej długości!

Pozdrawiam
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: max123321 »

No właśnie tak też myślałem, żeby wyznaczyć wektor AB potem prostopadły do niego i dodać do punktów A i B ten wektor, aby uzyskać C i D, ale czy tak to się robi w liceum? Wydawało mi się, że w liceum to się robi innymi metodami, ale może się mylę?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: a4karo »

W liceum można wziąć papier w kratkę, narysować końce przekątnej, środek odcinka i policzyć kratki. do tego sprowadza się wskazówka JHN
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: Jan Kraszewski »

max123321 pisze: 7 paź 2022, o 14:30Widzę, tylko karkołomne metody z masą ciężkiego liczenia.
Przesadzasz. W geometrii analitycznej trzeba się trochę naliczyć. Jeżeli nie chcesz z wektorami, to masz trochę rachunków, ale nie są one karkołomne.

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: max123321 »

J Kraszewski, a możesz podać procedurę jak to po kolei liczyć bez wektorów i żeby nie było jakoś ciężko rachunkowo? Nie chodzi mi o konkretne rachunki, ale o procedurę.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: a4karo »

Ten sposób pozwala obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków prawie bez rachunków:

Jeżeli dane są czerwone punkty `A(x_a,y_a), C(x_c,y_c)` , to postępujemy tak: wyznaczamy niebieski środek `S` odcinka `AC` i rysujemy prostokąt, którego przekątną jest `AC` (czerwony). Następnie obracamy go o kt prosty względem `S` (zielony). Odpowiednie zielone wierzchołki będą wierzchołkami szukanego kwadratu
przekatna.jpg
przekatna.jpg (9.74 KiB) Przejrzano 954 razy
Teraz łatwo wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków. Np. `x_d=x_s-\frac{y_c-y_a}{2}=\frac{x_a+x_c-y_c+y_a}{2}`, `y_d=y_s+\frac{x_c-x_a}{2}=\frac{x_c-x_a+y_c+y_a}{2}` itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo, w tym temacie dane są \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (a nie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\))...
max123321 pisze: 7 paź 2022, o 23:27 J Kraszewski, a możesz podać procedurę jak to po kolei liczyć bez wektorów i żeby nie było jakoś ciężko rachunkowo?
1. Prosta \(\displaystyle{ AB}\).
2. Prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ A}\).
3. Długość \(\displaystyle{ AB}\).
4. Równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ |AB|}\).
5. Część wspólna prostej 2. i okręgu 4. - dostajesz dwa potencjalne punkty \(\displaystyle{ D}\).
6. No i teraz wyznaczyć \(\displaystyle{ C}\) najprościej z \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}\) - to dość elementarne wektory.

alternatywnie:
6'. Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AB}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ D}\) i prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ B}\) i punkt wspólny.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Punkty A(-5,-4), B(3,-2)

Post autor: a4karo »

Jan Kraszewski pisze: 8 paź 2022, o 01:28 a4karo, w tym temacie dane są \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (a nie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\))...
Słuszna uwaga, zafiksowałem się zadaniem geometria-analityczna-f38/dane-sa-wierz ... 53753.html .
Nie znaczy to jednak, że nie można tego zadania tu wykorzystać :)

Niech `F` będzie takim punktem, że `B` jest środkiem odcinka `AF`. To znaczy, że \(\displaystyle{ (x_b,y_b)=\left(\frac{x_a+x_f}{2},\frac{y_a+y_f}{2}\right)}\), albo
`(x_f,y_f)=(2x_b-x_a,2y_b-y_a)`.

Jeżeli teraz zbudujemy prostokąt `AEFG`, którego przekątną jest odcinek `AF`, to jego wierzchołek `G` pokryje się z poszukiwanym wierzchołkiem `C`.
bok.jpg
bok.jpg (15.58 KiB) Przejrzano 921 razy
Na mocy tego, co napisałem wcześniej współrzędne tego wierzchołka będą dane wzorami
(*)\ \(\displaystyle{ (x_c,y_c)=\left((x_b-\frac{y_f-y_a}{2}, y_b+\frac{x_f-x_a}{2}\right)=(x_b+y_b-y_a, y_b+x_c-x_a)}\)

Zauważmy, że rysowanie tych prostokątów w poprzednim poście nie jest konieczne. Służą one jedynie do uzasadnienia że wzory na współrzędne wierzchołków są takie, jakie są.

Dla znalezienia współrzędnych wierzchołka `D` możemy wykonać robimy takie samo rozumowanie, tylko tym razem `A` będzie środkiem odcinka `FB`, a `D` będzie wierzchołkiem kwadratu `BDFG`.
Ale można prośćiej: zauważmy, że wierzchołek `D` będzie "wierzchołkiem `C`" gdy konstrukcję zaczniemy nie z odcinla `AB` lecz z odcinka `BC`. Stąd, korzystając ze wzorów (*) dostajemy
\(\displaystyle{ (x_d,y_d)=(2x_c-x_b, 2y_c-_b)=(2y_b-2y_a+x_b, 2x_b-2x_a-y_b)}\)
ODPOWIEDZ