Matematyka.pl

Treść:
Sprawdź czy prosta \(\displaystyle{ 4x + 3y + 3 = 0}\):
a) jest prostopadła do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 3x + 4y - 7 = 0}\)
b) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + y ^{2} - 2y - 2 = 0}\)

a) sprowadzam proste do postaci kierunkowej, wyznaczam współczynniki a i sprawdzam czy ich iloczyn jest równy -1

b) i tutaj moje pytanie. W kluczu wykorzystano wzór na odległość punktu od prostej.Zwinięto równanie okręgu, aby wyznaczyć środek i promień. następnie jeśli porównana odległość będzie równa promieniowi to prosta jest styczna. I wychodzi, że rzeczywiście ta prosta jest styczna do tego okręgu

Natomiast moją pierwszą myślą było sprowadzenie tej prostej do postaci kierunkowej ( podpunkt a ) i wstawienie wyznaczonej wartości za y do równaniu okręgu. Jeśli wyjdzie jedna para liczba x i y to prosta powinna być styczna. Kiedy to liczę wychodzi mi coś dziwnego. A x powinny być raczej całkowite...

\(\displaystyle{ y = - \frac{4}{3}x - 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + y ^{2} - 2y -2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + (- \frac{4}{3}x - 1)^{2} - 2(- \frac{4}{3}x - 1) - 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + \frac{16}{9}x^{2} + \frac{8}{3}x + 1 + \frac{8}{3}x +2 - 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{25}{9}x^{2} + \frac{7}{3}x + 1 = 0}\)

Wstaw równanie okręgu, prawdopodobnie coś źle policzyłeś. Jeśli prosta jest styczna do okręgu, to musi ci wyjść jeden punkt.

no właśnie kombinowałem długo i nic dalej jakieś abstrakcje wychodzą oto równanie
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + y ^{2} - 2y - 2 = 0 / + 4}\)
\(\displaystyle{ (x - 1) ^{2} + (y - 1) ^{2} = 4}\) - dobrze ?

prosta:
\(\displaystyle{ 4x + 3y + 3 = 0}\)