Matematyka.pl

Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych i stycznego do prostych \(\displaystyle{ x+y+9=0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x-y-2=0.}\)
Jest to zadanie ze zbioru Kiełbasy.

Mój pomysł jest taki że środek okręgu jest równo oddalony od prostych ale wtedy mam jedno równanie i dwie niewidome \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Gdy wykorzystam równanie okręgu i pkt. \(\displaystyle{ (0,0)}\) to dostaje dodatkowe równanie ale również dodatkowa niewiadomą \(\displaystyle{ r}\). Nie wiem skąd wziąć jeszcze jedno równanie.
Ma ktoś jakieś pomysły?

Pamiętaj, że środek jest równo oddalony od obu prostych właśnie o Twoje \(\displaystyle{ r}\).

JK

Gdy skorzystam ze woru na odl. pkt od prostej to otrzymam
\(\displaystyle{
r_1=\frac{\left| a+b+9\right| }{ \sqrt{2} } \\
r_2= \frac{\left| 2a-b-2\right| }{ \sqrt{5} }
}\)
wiem ze to jest takie samo r ale jeśli to porównam to otrzymam dwa różne równania i dwie niewidome.

kontaktgw pisze: ↑12 kwie 2023, o 13:10 wiem ze to jest takie samo r ale jeśli to porównam to otrzymam dwa różne równania i dwie niewidome.

Nie rozumiem.

JK

to ja napisze jak to rozwiązywałem i gdzie utknąłem
\(\displaystyle{
r= \frac{\left| a+b+9\right| }{ \sqrt{2} } \\
r= \frac{\left| 2a-b-2\right| }{ \sqrt{5} }
}\)

jako ze jest wartosc bezwgzledna
to otrzymam
\(\displaystyle{
(a+b+9) \sqrt{5}=(2a-b-2) \sqrt{2}
\vee
(a+b+9) \sqrt{5}=-(2a-b-2) \sqrt{2}
}\)
i teraz nie wiem co dalej

Dodano po 1 dniu 21 godzinach 38 minutach 6 sekundach:
Ktoś ma jakiś pomysł na to zadanie?

Jak na razie dostałeś dwa równania prostych, które dwusiecznymi kątów wyznaczonych przez te proste. Teraz na jednej z nich musisz znaleźć punkt który jest środkiem szukanego okręgu

Czy punkty przecięcia się stycznych oraz środki dwóch okręgów (bo rozumiem ze w rozwiązaniu powinny wyjść dwa okręgi) leżą na jednej prostej?

Wiesz czym jest dwusieczna kąta?

Jest to półprosta dzieląca dany kąt na dwa kąty przystające.

A stąd wynika, że środek okręgu stycznego do ramion tego kąta leży na...

... dwusiecznej tego kąta.

Ano właśnie. Jak dodasz do tego fakt, że dwusieczna przechodzi przez wierzchołek kąta, to masz odpowiedź na swoje pytanie