Objętość spirali gwintu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
o_l_0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 lis 2022, o 13:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 1 raz

Objętość spirali gwintu

Post autor: o_l_0 »

Witam,

prosiłbym o pomoc jak obliczyć objętość spirali gwintu na długości jednego skoku. Opisując to bardziej matematycznie interesuje mnie objętość figury jaka powstanie przez obrócenie trójkąta na helisie (linii śrubowej) na długości jednego skoku. Trójkąt jest przytwierdzony do helisy podstawą.
Dane wejściowe to podstawa trójkąta a, wysokość trójkąta h, średnica helisy D i skok helisy p.

Próbowałem to przybliżyć jako objętość graniastosłupa o podstawie trójkąta i wysokości wynikającej z długości helisy na jednym skoku. Jednak takie przybliżenie okazało się mało dokładne.

Jak ktoś ma jakiś pomysł jak podejść do tematu to bardzo proszę o pomoc. Odświeżyłem moją wiedzę matematyczną z czasów studenckich ale nic czego się uczyłem nie obejmuje objętości bryły powstałej w wyniku obrotu figury płaskiej na krzywej.

---
pozdrawaim
olo
Załączniki
gwint.jpg
gwint.jpg (9.13 KiB) Przejrzano 917 razy
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Objętość spirali gwintu

Post autor: kerajs »

Sądzę, choć może się mylę, że dobrym przybliżeniem będzie pierścień o średnicy wewnętrznej \(\displaystyle{ D}\), zewnętrznej \(\displaystyle{ D+2h}\), i trójkątnym przekroju.
Wtedy ta objętość to:
\(\displaystyle{ V=2\left[ \frac{1}{3}( \frac{D}{2}+h)^2 \cdot \left( \frac{a}{2h} \cdot ( \frac{D}{2}+h) \right) -
\frac{1}{3}( \frac{D}{2})^2 \cdot \left( \frac{a}{2h} \cdot ( \frac{D}{2}+h) - \frac{a}{2} \right)-( \frac{D}{2})^2 \cdot \frac{a}{2} \right] }\)
o_l_0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 lis 2022, o 13:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 1 raz

Re: Objętość spirali gwintu

Post autor: o_l_0 »

Dzięki za podpowiedź :) Myślę, że jak powstałą objętość pierścienia przemnożymy przez współczynnik korekcyjny będący stosunkiem długości linii śrubowej na wysokości jednego skoku do obwodu średnicy wewnętrznej pierścienia to zbliżę się bardziej do wartości rzeczywistej. Objętość pierścienia i spirali będzie się coraz bardziej rozjeżdżał wraz ze wzrostem skoku.

Znalazłem jeszcze takie coś jak twierdzenie Pappusa- Guldina. Stosując je pewnie wzór na pierścień jeszcze bardziej się uprości.

Jeszcze raz dziękuję za cenną sugestię i pozdrawiam.

Dodano po 2 dniach 7 godzinach 23 minutach 39 sekundach:
Po zweryfikowaniu obliczeń za pomocą narysowanych modeli w programie typu CAD przybliżenie pierścieniem okazało się bardzo dokładne. Wraz ze zwiększaniem skoku rzeczywiście pole spirali zwiększa się w odniesieniu do pierścienia. Jeśli skok spirali jest kilka razy większy niż średnica to i tak błąd obliczeń jest poniżej 1%. W tym przypadku stosowanie jakiś współczynników korekcyjnych za bardzo nie ma sensu. Z obliczeń mi wyszło, że ta poprawka to nie jest prosty stosunek długości spirali na odległości jednego skoku do obwodu wewnętrznego okręgu pierścienia. Jest to zależność bardziej skomplikowana.

Jeśli chodzi o sam wzór na objętość pierścienia to po zastosowaniu twierdzenia Pappusa- Guldina przyjmuje prostszą postać:
\(\displaystyle{ V=2 \pi \left( \frac{D}{2}+ \frac{h}{3} \right)\left( \frac{1}{2}ah \right) }\)

gdzie
D - średnica wewnętrzna spirali
h - wysokość trójkąta spirali
a - długość podstawy trójka spirali.

Generalni rozwiązanie problemu okazało się prostsze niż przypuszczałem.

---
Jeszcze raz dziękuję i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Objętość spirali gwintu

Post autor: kerajs »

o_l_0 pisze: 29 lis 2022, o 20:38 Jeśli chodzi o sam wzór na objętość pierścienia to po zastosowaniu twierdzenia Pappusa- Guldina przyjmuje prostszą postać:
\(\displaystyle{ V=2 \pi \left( \frac{D}{2}+ \frac{h}{3} \right)\left( \frac{1}{2}ah \right) }\)
Gdyby uprościć wzór który podałem (uzupełniony o przegapione \(\displaystyle{ \pi}\) (sorry) )
\(\displaystyle{ V=2\pi\left[ \frac{1}{3}( \frac{D}{2}+h)^2 \cdot \left( \frac{a}{2h} \cdot ( \frac{D}{2}+h) \right) -
\frac{1}{3}( \frac{D}{2})^2 \cdot \left( \frac{a}{2h} \cdot ( \frac{D}{2}+h) - \frac{a}{2} \right)-( \frac{D}{2})^2 \cdot \frac{a}{2} \right] =...}\)

to dostanie się:
\(\displaystyle{ ...=2 \pi \left( \frac{D}{2}+ \frac{h}{3} \right)\left( \frac{1}{2}ah \right) }\)

A wzoru nie uproszczałem, aby było widać jakie bryły były odejmowane w celu uzyskania pierścienia.
ODPOWIEDZ