Naczynia prostokątne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Naczynia prostokątne

Post autor: dzialka11o »

Mamy w zasięgu cztery cienkościenne prostokątne blaszki o wymiarach \(\displaystyle{ 25 \times 4;\ 12,5\times 8;\ 6,25 \times 16}\) oraz \(\displaystyle{ 10 \times 10}\). Z której blaszki uzyskamy pojemnik prostokątny (bez wieczka) o największej pojemności ? (mimo równych powierzchni tych blaszek \(\displaystyle{ = 100}\))
Jak to analitycznie obliczyć przy zastosowaniu pochodnych ?
Proszę o pomoc .
T.W.
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2022, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Naczynia prostokątne

Post autor: janusz47 »

Niech \(\displaystyle{ a\geq b >0 }\) będą liczbami rzeczywistymi. \(\displaystyle{ P }\) niech oznacza prostokąt, którego jeden bok ma długość \(\displaystyle{ a, }\) a drugi \(\displaystyle{ b. }\) Z prostokąta \(\displaystyle{ P }\) wycinamy cztery kwadraty o boku \(\displaystyle{ x\in \left (0, \frac{b}{2}\right) }\) zawierające cztery wierzchołki \(\displaystyle{ P }\), że pole \(\displaystyle{ P }\) zmniejsza się o \(\displaystyle{ 4x^2.}\) Zaginamy "wycięte" części. by powstało pudełko o wymiarach \(\displaystyle{ a -2x, \ \ b-2x, \ \ x. }\)

Dla jakiego \(\displaystyle{ x }\) pojemność otrzymanego pojemnika (pudełka) będzie największa ? (*)

Niech \(\displaystyle{ V(x) = x(a-2x)(b-2x) \ \ (1) }\)

będzie pojemnością pudełka, \(\displaystyle{ V }\) jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w każdym punkcie dziedziny. Z punktu widzenia pojemności pudełka - dziedziną funkcji jest przedział \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2} \right). }\)

Można tę funkcję rozpatrywać na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{b}{2}\right] }\), na którym jest ciągła i przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą.

\(\displaystyle{ V(0) = V\left(\frac{b}{2}\right) = 0 }\) i \(\displaystyle{ V(x) >0 }\) dla \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2}\right) }\) więc najmniejsza wartość jest przyjmowana w końcach tego przedziału - największa w pewnym jego punkcie wewnętrznym \(\displaystyle{ x_{0}.}\)

Z różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ V }\) wynika, że \(\displaystyle{ V'(x_{0}) = 0. }\)

Znajdujemy pochodną funkcji \(\displaystyle{ V }\)

\(\displaystyle{ V'(x) = (a-2x)(b-2x) + x(-2)(b-2x) + x(a-2x)(-2) = ab -2ax -2bx +4x^2 -2bx +4x^2 -2ax +4x^2 = 12x^2 -(a+b)x +ab \ \ (2) }\)

Wielomian \(\displaystyle{ (2) }\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni w \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) drugi też jest dodatni, bo iloczyn pierwiastków \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{ab}{12} >0 }\)

Przeprowadzając to samo rozumowanie do przedziału \(\displaystyle{ \left[\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\) stwierdzamy, że wewnątrz tego przedziału
funkcja\(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wartości ujemne na jego końcach zero.

W związku z tym swą najmniejszą wartość funkcja \(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left [\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\)

W każdym z przedziałów \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2}\right), \ \ \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \ \ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek.

Tak jest, gdy \(\displaystyle{ a> b. }\) W przypadku, gdy \(\displaystyle{ a = b, \ \ V'(x) = 12x^2 - 8bx + b^2 }\) i \(\displaystyle{ V' \left(\frac{b}{2}\right) = 12\left(\frac{b}{2}\right)^2 - 8b\left(\frac{b}{2}\right) + b^2 = 3b^2 - 4b^2 +b^2 = 0.}\)

Ogólnie, jeśli liczba \(\displaystyle{ x_{1} }\) jest podwójnym pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f, }\) tzn. \(\displaystyle{ f(x) = (x- x_{1})^2 \cdot g (x) }\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g }\) różniczkowalnej w \(\displaystyle{ x_{1} }\) to \(\displaystyle{ f(x_{1}) = 0 = f'(x_{1}). }\)

Wobec tego i w tym przypadku w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) może mieć co najwyżej jeden
pierwiastek, więc ma dokładnie jeden.

Udowodniliśmy, że w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0} ,}\) którym jest mniejszy z dwóch pierwiastków tej funkcji.

Liczba \(\displaystyle{ V(x_{0}) }\) jest największą wartością funkcji przyjmowaną na przedziale \(\displaystyle{ \left ( 0, \frac{b}{2}\right) }\)

Obliczamy z równania \(\displaystyle{ (2) }\) wartość tego pierwiastka

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{2\cdot 12} \left [ 4(a+b) - \sqrt{[4(a+b)]^2 - 48ab} \right] = \frac{1}{6}\left[ (a+b) - \sqrt{a^2+b^2-ab}\right] \ \ (3) }\)

Blaszka \(\displaystyle{ a = 25 \ \ cm, \ \ b = 4 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[ (25 + 4) - \sqrt{25^2 + 4^2 - 25\cdot 4} \right] \approx 0,9928 \approx 1 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ V(1) = 1(25 -2\cdot 1)(4 -2\cdot 1) = 23\cdot 2 = 46 \ \ cm^3 }\)

Blaszka \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(12,5 + 8) - \sqrt{12,5^2 + 8^2 - 12,5\cdot 8} \right] \approx 5,2443 \approx 5 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ V(5) = 5(12,5 -2\cdot 5)(8 -2\cdot 5) = - 25 \ \ cm^3 }\)

Blaszka \(\displaystyle{ a = 16 \ \ cm, \ \ b = 6,25 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(16,00 + 6,25) - \sqrt{16^2 + 6,25^2 - 16\cdot 6,25} \right] \approx 1,3806 \approx 1,4 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ V(1,4) = 1,4(16 -2\cdot 1,4)(6,25 -2\cdot 1,4) = 63,756 \ \ cm^3 \approx 64 \ \ cm^3 }\)

Blaszka \(\displaystyle{ a = 10 \ \ cm, b = 10 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(10 + 10) - \sqrt{10^2 + 10^2 - 10\cdot 10} \right] \approx 1.67 \ \ cm \approx 2 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ V(2) = 2(10 -2\cdot 2)(10 -2\cdot 2) = 2\cdot 6 \cdot 6 = 72 \ \ cm^3 }\)

Największą objętość ma pudełko wycięte z blaszki kwadratowej o wymiarach \(\displaystyle{ 10 \ \ cm \times 10 \ \ cm. }\)

Czy ten wynik można było przewidzieć ? Można.

(*) Zadanie rozwiązano na podstawie podobnego zadania Pana dr Michała Krycha.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Naczynia prostokątne

Post autor: janusz47 »

Poprawa

Dla blaszki \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)

\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6} \left[ (12,5 + 8 )- \sqrt{12,5^2 +8^2 -12,5\cdot 8}\right] \approx 1,5890 \ \ cm \approx 1,6 \ \ cm.}\)

\(\displaystyle{ V(1,6) = 1,6\cdot (12,5 -2\cdot 1,6)(8 - 2\cdot 1,6) = 71,424 \ \ cm^3 \approx 71,5 \ \ cm^3.}\)
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Naczynia prostokątne

Post autor: dzialka11o »

Serdecznie dziękuję za to dydaktyczne podejscie w zrozumieniu
problematyki tego typu zadań optymalizacyjnch .
z poważaniem T.W.
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Naczynia prostokątne

Post autor: dzialka11o »

Do: Post autor: janusz47
Zadanie odwrotne ;
Z jakiej blachy kwadratowej cienkościennej w tej optymalizacji wykonamy pudełko o wysokosci \(\displaystyle{ X = 10}\)
Ze wzoru nr 3 możemy wnioskować ze wymiar \(\displaystyle{ X}\) stanowi 1/6 boku, a stąd \(\displaystyle{ a = 60, a \times a = 60 \times 60}\) .
Wskaznik odpadu 4 wyciętych narożników wynosi \(\displaystyle{ 0.1111...}\) ( \(\displaystyle{ 11,111...\%}\)) jest on niezależny od przyjętych wymiarów \(\displaystyle{ a \times a}\) w tej optymalizacji . J
Jak to wykazać na wzorach uogólnionych przy pomocy pochodnych .
Z poważaniem T.W.
Ostatnio zmieniony 10 paź 2022, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: Naczynia prostokątne

Post autor: bosa_Nike »

No ale co oznacza "w tej optymalizacji"? Co tu jest optymalizowane? Skoro masz uzyskać wysokość \(10\), to znaczy, że za każdym razem wycinasz z każdego naroża kwadrat \(10\times 10\). No to przecież im większy kwadratowy arkusz weźmiesz, tym większa będzie objętość pudełka. Nie jest też prawdą, że odpad stanowił będzie stałą część powierzchni arkusza.
ODPOWIEDZ