Matematyka.pl

Stwierdziłem, że to problem bardziej matematyczny niż fizyczny dlatego piszę w tym dziale.
Dostałem za zadanie udowodnić, że krzywa Lissajous złożona z drgań o tej samej częstotliwości będzie elipsą, czyli wykazać, że krzywa dana równaniem parametrycznym:
\(\displaystyle{ {\begin{cases}x=A \cdot \sin \left( t \right) \\ y=B \cdot \sin \left( t+k \right) \end{cases}}\)
opisuje elipsę.
Równanie elipsy dane jest wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{ x^2 }{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1}\)
Jednak opisuje to tylko elipsę, której półosie pokrywają się z osiami układu współrzędnych, a elipsa z krzywych Lissajous zwykle jest obrócona o jakiś kąt (o ile nie zawsze). Znalazłem gdzieś równanie elipsy opisujące dowolny przypadek, ale to taka kobyła była, że odstraszała przed podstawianiem. Spróbowałem więc z równaniem parametrycznym:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \cdot \cos t \\ y=b \cdot \sin t \end{cases}}\)
Tak samo opisuje elipsę jak poprzedni układ, więc obracając o kąt alfa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \cdot \cos t \cdot \cos \alpha-b \cdot \sin t \cdot \sin \alpha \\ y=a \cdot \cos t \cdot \sin \alpha +b \cdot \sin t \cdot \cos \alpha \end{cases}}\)
I teraz pytanie: jak doprowadzić pierwszy układ do postaci takiej jak powyższy? Przekształcenia prowadzą mnie w jakiś ślepy zaułek. Czy może jest jakiś łatwiejszy sposób?

U ciebie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to amplitudy sygnałów, \(\displaystyle{ k}\) – to kąt przesunięcia fazowego. Dla \(\displaystyle{ k=0}\) krzywa będzie odcinkiem, dla \(\displaystyle{ k=\pm\pi/2}\) – elipsą o osiach równoległych do osi układu współrzędnych. W każdym innym przypadku krzywą będzie „skośna” elipsa - właśnie taka, o którą Ci chodzi.

To wiem. Tylko problem w tym, jak to udowodnić?

Być może wykorzystując:

• \(\displaystyle{ \tg\alpha=-\frac{B}{A}}\)